전체 심화 유형
556 개 심화 유형 · 6,016 개 생성 연습 변형 · 62개 유형
수와 자리값87
2 조건에 맞게 수 카드를 놓아 수를 만든다. 2 모르는 수 바로 아랫자리까지 크기를 비교한다. 2 조건에 맞는 수를 차례로 구한다. 2 1, 10, 100이 10개가 되면 앞 자리로 이동한다. 2 100이 10개이면 1000이다. 2 곱하는 두 수가 달라도 곱은 같을 수 있다. 2 양쪽의 값이 같아지게 하는 수를 먼저 찾는다. 2 여러 가지 방법으로 몇 개인지 구할 수 있다. 2 조건에 맞는 수를 차례로 구한다. 3 더하는 수의 크기만큼 합의 크기도 달라진다. 3 낮은 자리부터 각 자리 수끼리 계산한다. 3 하나의 수는 여러 가지 덧셈식으로 나타낼 수 있다. 3 높은 자리일수록 값이 크다. 3 10이 되면 앞으로 한 자리 나아간다. 3 길이가 가장 크게 되거나 가장 작게 되도록 (몇십몇)×(몇)의 곱셈식 만들기 3 곱하는 수를 어림하면 곱의 크기를 대략 알 수 있다. 3 낮은 자리부터 각 자리 수끼리 계산한다. 3 10이 되면 앞으로 한 자리 나아간다. 3 높은 자리일수록 값이 크다. 3 높은 자리일수록 값이 크다. 3 곱하는 수를 어림하면 곱의 크기를 대략 알 수 있다. 3 낮은 자리부터 각 자리 수끼리 계산한다. 3 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 4 조건에 맞는 수를 차례로 구한다. 4 □의 자리부터 낮은 자리로 비교해간다. 4 10이 되면 앞으로 한 자리 나아간다. 4 바뀌는 숫자의 자릿값만큼 뛰어 센다. 4 10배 할 때마다 한 자리씩 늘어난다. 4 큰 수를 작은 수로 나누어야 몫이 커진다. 4 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 4 수는 곱 분해한 수들로 나누어떨어진다. 4 대분수의 자연수 부분이 클수록, 분자가 클수록 큰 수이다. 5 각 부분을 나타낸 식을 하나의 식으로 나타낸다. 5 곱하는 수가 커지면 계산 결과도 커진다. 5 진분수는 분모와 분자의 차가 작을수록, 분자가 클수록 크다. 5 분자가 분모의 약수인 분수의 합으로 만든다. 5 이상, 이하에 포함되고, 초과, 미만에 포함되지 않는다. 5 최댓값과 최솟값의 차가 가장 큰 차이다. 5 공통 범위는 수직선에 나타냈을 때 겹치는 부분이다. 5 구하려는 자리의 아래 수를 보고 어림한다. 5 최솟값, 최댓값으로 수의 범위를 구한다. 5 두 자리 수는 십의 자리와 일의 자리가 있다. 5 소수점의 위치를 보면 계산하지 않아도 알 수 있다. 5 ( )를 쓰면 쉽게 계산할 수 있다. 5 높은 자리 수가 클수록 곱이 더 크다. 6 양쪽에 같은 수를 곱해도 부등호의 방향은 같다. 6 반올림하기 전의 수를 찾는다. 6 식을 계산하여 간단히 나타낸다. 6 작은 수를 큰 수로 나눌수록 몫이 작아진다. 6 큰 수를 작은 수로 나눌수록 몫이 커진다. 6 반올림은 올림이나 버림을 하여 나타낸다. 7 소인수의 합과 약수의 개수로 지수를 정한다. 7 공배수이면서 제곱수가 되도록 지수를 짝수로 올린다. 7 공약수로 경우를 나누고 절댓값의 범위를 센다. 7 부호가 반대이면 절댓값 관계가 하나의 식이 된다. 7 ac=1이면 a, c는 같은 부호의 역수이다. 7 곱과 합의 부호로 음수의 개수를 먼저 정한다. 7 절댓값으로 정해지는 두 수의 부호 경우를 모두 조합해 거리의 최댓값·최솟값을 구한다. 7 부호와 크기를 따져 빈칸에 수를 배치하면 식의 최댓값과 최솟값을 찾을 수 있다. 7 부등식 조건으로 세 수의 부호를 먼저 정하고, 같은 부호끼리 역수의 크기를 비교한다. 7 방향과 거리를 수직선 위의 부호 있는 좌표로 옮긴다. 7 좌표의 부호에서 두 문자의 부호를 각각 밝혀낸다. 7 세 대칭점은 직사각형을 만들고 둘레는 절댓값의 합으로 정해진다. 7 한 변이 주어진 정사각형은 양쪽 두 방향으로 만들어진다. 8 앞 두 자리 숫자를 부등식으로 바꿔 분자부터 좁힌다. 8 순환소수를 분수로 바꾸고 소인수의 지수를 짝수로 맞춘다. 8 경계를 같은 분모로 바꾸고, 분모의 3을 지우는 분자만 센다. 8 주어진 부등식을 두 번 이어 써서 최댓값을 잡는다. 8 지수를 같게 맞추면 밑만 비교하면 된다. 8 2와 5를 짝지어 10의 거듭제곱을 만들어 자릿수를 센다. 8 지수가 같은 두 거듭제곱이 같으면 밑끼리 같다. 8 밑을 2로 통일하고 합에서 공통인 거듭제곱을 묶어 낸다. 8 분자와 분모에 같은 거듭제곱을 곱해 음의 지수를 정리한다. 8 주어진 문자로 2^x, 3^x를 먼저 나타낸 뒤 조립한다. 8 계수의 부호로 모르는 지수가 짝수인지부터 정한다. 8 절댓값 부등식을 풀고 a의 부호로 나누어 해의 양 끝을 맞춘다. 8 소수 자리 숫자 조건을 값의 범위(부등식)로 바꾼다. 8 반올림한 값이 n이면 원래 값은 n-0.5 이상 n+0.5 미만이다. 8 크기 순서를 이용해 부등식으로 후보를 좁힌 뒤 정수해를 찾는다. 8 둘레 조건으로 밑변을 다리로 나타내고 삼각형의 변의 조건으로 다리의 범위를 정한다. 8 움직이는 삼각형의 넓이를 사다리꼴에서 양쪽 직각삼각형을 뺀 식으로 나타낸다. 8 한 사람이 이긴 횟수 하나로 두 사람의 점수를 모두 나타내고 점수 차의 부등식을 세운다. 8 기본 요금 구간에서는 평균이 너무 크므로 초과 구간에서만 평균 비용 부등식을 세운다. 8 섞은 양을 한 미지수로 두고 두 기준(총량, 평균)을 각각 부등식으로 세워 공통 범위를 구한다. 8 내려갈 때 시간을 먼저 빼고, 남은 시간으로 올라갈 때 속력의 조건을 세운다. 8 한 미지수를 고정하면 개수가 규칙적으로 줄어든다. 8 식이 하나 모자라면 자리 숫자의 범위와 배수 조건으로 후보를 좁힌다.
연산과 문장제127
2 커진 만큼 작아지면 처음 수가 된다. 2 어떤 수를 먼저 구한다. 2 1과 어떤 수의 곱은 어떤 수, 0과 어떤 수의 곱은 0이다. 2 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 2 다 세어 보지 않아도 몇 개인지 구할 수 있다. 2 커진 만큼 작아지면 처음 수가 된다. 2 합과 차를 이용하여 두 물건의 길이를 각각 구한다. 3 두 수의 차가 작을수록 가깝다. 3 모르는 수가 하나만 있는 식으로 만든다. 3 나누어지는 수는 나누는 수의 곱이다. 3 나누어지는 수와 몫은 뺄셈으로 분해된다. 3 나누어지는 수를 먼저 구한다. 3 큰 수를 나눌수록 몫이 크다. 3 복잡한 연산을 간단한 기호로 약속할 수 있다. 3 모르는 수가 하나만 있는 식으로 만든다. 3 계산한 방법과 순서를 거꾸로 하면 처음 수가 된다. 3 움직인 시간이 늘어나는 만큼 거리도 늘어난다. 3 일정한 시간 동안 움직인 거리를 빠르기라고 한다. 3 식을 만들고 순서에 맞게 계산하여 구한다. 3 잘못 계산한 식으로 처음 수를 구한다. 3 모르는 수가 하나만 있는 식으로 만든다. 3 떨어진 높이의 분수만큼을 분모로 나누는 것에 분자를 곱한 값이다. 3 어떤 수의 분수만큼은 분모로 나누는 것에 분자를 곱한 값이다. 3 실제 값과 어림한 값의 차가 작을수록 어림을 잘한 것이다. 3 덜어 내거나 더한 양으로 담은 그릇의 무게를 구한다. 3 전체 물의 양은 들어간 물에서 나가는 물을 뺀 양이다. 3 모르는 수가 하나만 있는 식으로 만든다. 3 들어 있는 물의 양에 부은 물의 양을 더하면 전체 물의 양이다. 3 기준이 되는 양을 구한다. 3 더하거나 빼서 모르는 두 수 중 한 수만 남긴다. 4 모르는 수가 하나만 있는 식으로 만든다. 4 복잡한 연산을 간단한 기호로 정할 수 있다. 4 단위량의 몇 배인지 구한다. 4 1 단위의 양을 구한다. 4 움직인 방법과 순서를 거꾸로 하면 처음 도형이 된다. 4 단위 시간 동안 일한 양을 더하여 함께 하는 일의 양을 구한다. 4 복잡한 연산을 간단한 기호로 약속할 수 있다. 4 물의 높이가 일정하면 막대가 잠기는 부분의 길이도 일정하다. 4 잘못 계산한 식으로 처음 수를 구한다. 4 두 수의 차가 작을수록 가깝다. 4 연속하는 자연수는 1씩 커진다. 4 밀어 낸 양으로 담는 그릇의 무게를 구한다. 4 계산한 방법과 순서를 거꾸로 하면 처음 수가 된다. 4 모르는 수가 하나만 있는 식으로 만든다. 4 잘못 계산한 식으로 처음 수를 구한다. 4 가로에 시간, 세로에 거리를 나타내면 기울기는 빠르기다. 5 저울이 수평을 이루면 양쪽의 무게는 같다. 5 두 식을 더하거나 빼서 새로운 식을 만든다. 5 복잡한 연산을 간단한 기호로 약속할 수 있다. 5 계산 방법과 순서를 거꾸로 하여 모르는 수를 구한다. 5 모르는 수를 기호로 나타내 식을 만든다. 5 복잡한 연산을 간단한 기호로 약속할 수 있다. 5 계산한 방법과 순서를 거꾸로 하면 처음 수가 된다. 5 분자가 같을 때 분모의 크기를 비교한다. 5 덜어 낸 후의 무게로 빈 컵의 무게를 구할 수 있다. 5 잘못 계산한 식으로 처음 수를 구한다. 5 ■에 가장 가까운 수는 ●보다 클 수도, 작을 수도 있다. 5 분수를 사용하면 작은 단위를 큰 단위로 나타낼 수 있다. 5 소수를 사용하면 작은 단위를 큰 단위로 나타낼 수 있다. 6 정확한 시계와 하루에 몇 분 차이인지 알아본다. 6 ÷(자연수)는 ×1/(자연수)과 같다. 6 등식의 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눌 수 있다. 6 단위 거리는 전체 거리를 걸린 시간으로 나눈 값이다. 6 전체 일의 양을 1로 하여 하루에 하는 일의 양을 분수로 나타낸다. 6 모르는 수가 하나만 있는 식으로 나타낸다. 6 곱셈과 나눗셈의 관계를 이용한다. 6 모르는 수는 기호로 나타내 식을 만든다. 6 단위량을 구해 해결한다. 6 덜어 낸 양으로 그릇의 무게를 구한다. 6 소수를 사용하여 단위를 바꾸어 본다. 6 단위량을 구한다. 6 하루 동안 빨라지거나 늦어지는 시간을 비례식으로 나타낸다. 6 삼각형의 높이가 같으면 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다. 6 투자한 금액의 비를 간단한 자연수의 비로 나타낸다. 6 비율을 분수로 나타내 비의 전항과 후항을 구한다. 6 간단한 자연수의 비를 큰 수의 비로 나타낼 수 있다. 6 비의 전항과 후항에 같은 수를 곱해도 비율은 같다. 6 한쪽 양을 다른 쪽으로 옮겨도 전체 양은 변하지 않는다. 6 모르는 두 양을 기호로 써서 2개의 식을 만든다. 7 두 변의 곱을 같게 놓으면 공통인 꼭짓점 수가 약분되어 비가 바로 나온다. 7 생일 맞히기 마술을 식으로 쓰면 100x+y가 드러난다. 7 테두리 길의 넓이는 띠로 나누어 일차식으로 구한다. 7 일차식이 되려면 이차항의 계수는 0, 일차항의 계수는 0이 아니어야 한다. 7 자릿값으로 쓴 수에서 5의 배수를 떼어 몫을 식으로 나타낸다. 7 조건을 x+y와 xy의 관계로 바꿔 통째로 대입한다. 7 소금물을 옮길 때는 소금의 양을 따라가며 농도를 식으로 나타낸다. 7 합 피라미드에서 대칭인 항은 지워지고 x만 쌓인다. 7 $k$의 값에 관계없이 성립하면 $k$에 대한 항등식으로 본다. 7 겹친 약속 연산은 바깥부터 벗겨 방정식을 푼다. 7 분자를 주어진 합으로 바꿔 쓰면 양변이 같은 꼴이 된다. 7 해가 없으려면 $x$의 계수는 $0$, 상수항은 $0$이 아니어야 한다. 7 잘못 보고 얻은 해로 바르게 본 상수를 거꾸로 구한다. 7 관계식으로 한 문자를 다른 문자로 나타내 식의 값을 구한다. 7 해를 $a$로 나타낸 뒤 자연수 조건으로 $a$를 추린다. 7 6분 뒤의 시각을 미지수로 두고 시침·분침의 각을 식으로 세운 뒤 범위로 해를 고른다. 7 구매자를 '커피만·케이크만·둘 다'로 나누고 매출 식을 세운다. 7 강아지의 왕복 경로 대신 두 사람이 만날 때까지의 시간을 먼저 구한다. 7 두 시점의 정보로 현재까지의 결혼 햇수를 두 가지로 나타내어 같게 놓는다. 7 처음부터 끝까지 일한 양수기의 몫을 먼저 빼면 나중에 합류한 양수기의 작동 시간이 나온다. 7 아이들 수를 두 가지 배정 방법으로 나타내어 같게 놓는다. 7 들어오는 양과 나가는 양을 같은 시간 단위로 맞추어 두 경우의 식을 비교한다. 7 두 농도를 문자로 두고 주고받은 뒤의 농도를 식으로 나타내면 농도 차가 일정한 비율로 줄어든다. 7 섞기 전후 소금의 양이 같다는 식이 정비례 관계가 된다. 8 잘못 본 소수를 분수로 되돌려 맞게 본 부분만 모은다. 8 두 비를 하나로 잇고, 식을 비의 값으로 바꾼다. 8 항등식은 양변에서 같은 차수의 항끼리 계수를 비교한다. 8 단항식은 차수가 같은 항하고만 같을 수 있다. 8 조건식의 분모를 없애 구하는 식에 맞는 꼴로 바꾼다. 8 역수의 합은 통분하면 (합)÷(곱)이 된다. 8 잘못 계산한 결과에서 거꾸로 원래 식을 구한다. 8 자연수인 해가 정확히 3개가 되도록 경계의 범위를 정한다. 8 해가 없으려면 x의 계수가 0이고 상수 비교가 거짓이어야 한다. 8 연립방정식의 해를 a로 나타낸 뒤 모두 양수인 조건을 부등식으로 푼다. 8 등식 조건으로 분모를 18의 배수 꼴로 묶고, 부등식으로 범위를 좁힌 뒤 기약 조건으로 고른다. 8 잘못 본 계수가 없는 식은 틀린 해도 만족한다. 8 해를 상수로 나타낸 뒤 부호 조건을 부등식으로 바꾼다. 8 되풀이되는 분수 덩어리를 새 문자로 바꾼다. 8 같은 방향 첫 만남은 둘레 한 바퀴의 차, 반대 방향 다음 만남은 둘레 한 바퀴의 합이다. 8 섞는 비부터 구한 뒤, 먼저 바닥나는 재료가 만들 수 있는 최대량을 정한다. 8 전체 일을 1로 두고 하루 일의 양을 미지수로 놓으면, 세 사람 식에서 두 사람 식을 빼 한 사람씩 구한다. 8 시간은 거리를 속력으로 나눈 값이므로, 속력의 역수가 든 두 식을 그대로 연립한다. 8 곡이 n개면 쉬는 시간은 n-1번이고, 개수를 맞바꾼 두 식은 더하고 빼서 푼다. 8 옮길 때마다 소금물 양과 소금 양을 따로 추적하면 마지막 농도로 식 두 개를 세울 수 있다. 8 항등식에 $0$과 $1$ 같은 특수한 값을 넣는다. 8 괄호 안이 원하는 값이 되는 $x$를 먼저 찾는다. 8 덧셈 규칙에 작은 값을 넣어 함숫값을 차례로 쌓는다. 8 잘못 본 그래프에서도 바르게 본 계수는 그대로 읽어 낸다.
규칙과 추론94
2 1000원, 500원, 100원짜리로 1000원을 만들 수 있다. 2 바뀌는 수의 차이만큼 뛰어 센다. 2 예상하고 확인하여 답을 찾는다. 2 물건을 2개 놓으면 사이의 간격이 1개 생긴다. 2 겹치는 부분만큼 더 줄어든다. 2 똑같은 요일은 7일마다 반복된다. 2 주어진 조건으로 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 2 시간이 어떤 규칙으로 흐르는지 알아본다. 2 규칙을 찾아 덧셈표, 곱셈표를 완성한다. 2 먼저 쌓기나무를 쌓은 규칙을 알아본다. 2 점선을 따라 접었을 때 만나는 수는 같다. 2 반복되는 수를 찾아본다. 2 반복되는 모양과 색깔을 각각 찾아본다. 2 같은 요일은 7일마다 반복된다. 3 연속되는 자연수는 1씩 커진다. 3 겹치는 만큼 줄어든다. 3 규칙적으로 늘어나는 양은 식으로 쓸 수 있다. 3 어떤 수를 나눌 수 있는 수는 곱해서 그 수를 만든다. 3 조건에 맞는 수를 차례로 구한다. 3 물건을 2개 놓으면 간격이 1개 생긴다. 3 겹치는 곳은 겹치는 종이의 수보다 1 작다. 3 규칙적으로 늘어나는 양은 식으로 쓸 수 있다. 3 두 조건 중 한 쪽만 선택하여 구한다. 3 연속하는 자연수는 1씩 커진다. 3 간격 수는 끊어진 길은 1개, 만나는 길은 2개이다. 3 일정하게 커지는 수의 합은 가운데 수의 몇 배로 나타낼 수 있다. 3 남는 것이 없으면서 나머지를 나누는 수로 만들어야 한다. 3 나누어떨어지는 나눗셈은 나머지가 0이다. 3 간격 수는 끊어진 길은 1개, 만나는 길은 2개이다. 3 곱셈과 뺄셈으로 나누기 전의 수를 알 수 있다. 3 나머지는 나누는 수보다 작다. 3 이웃하는 분수의 분자, 분모의 관계를 이용하여 규칙을 찾는다. 3 남는 것이 없으려면 묶음에 1을 더해야 한다. 3 조건을 이용하여 모르는 자료의 양을 구한다. 3 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 4 눈금 한 칸은 수의 양이다. 4 수직선 눈금이 수의 위치다. 4 나머지는 나누는 수보다 작다. 4 간격 수는 끊어진 길에 1개, 맞닿은 길에 2개이다. 4 알 수 있는 것부터 차례로 구하여 막대로 나타낸다. 4 수가 놓이는 기준에 따라 수 사이의 관계가 생긴다. 4 연속해서 커지는 수에는 합이 일정한 두 수의 쌍이 있다. 4 이웃하는 수 사이의 관계를 이용하여 규칙을 찾는다. 4 규칙을 찾으면 계산하지 않아도 결과를 알 수 있다. 4 모양의 규칙과 수의 규칙을 모두 찾아 식을 만든다. 4 자연수, 분자, 분모의 규칙을 모두 찾는다. 4 겹치는 만큼 줄어든다. 4 알 수 있는 것부터 차례로 꺾은선으로 나타낸다. 5 합이 일정할 때 한쪽이 줄어들면 다른 쪽은 늘어난다. 5 반복되는 시간의 공배수가 될 때 동시에 일어난다. 5 남김없이 똑같이 나누는 방법은 약수로 구할 수 있다. 5 톱니 수의 공배수만큼 맞물리면 처음 맞물렸던 곳이다. 5 반복되는 시간의 공배수가 될 때 동시에 일어난다. 5 배수는 약수로 나누어떨어진다. 5 몇의 배수인지 알면 곱으로 분해하기 쉽다. 5 두 수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다. 5 나누어지는 수에서 나머지를 빼면 나누어떨어진다. 5 일정하게 늘어나면 대응 관계를 식으로 나타낼 수 있다. 5 자른 횟수와 도막의 수 사이의 대응 관계를 찾는다. 5 변하지 않는 부분과 변하는 부분을 구별한다. 5 직선끼리 모두 만나면 점이 가장 많이 생긴다. 5 ★ 커지는 수는 먼저 ●의 배수가 되는지 확인한다. 5 순서와 수 사이의 대응 관계를 찾는다. 5 두 가지 대응 관계는 따로 생각한다. 5 1 이외의 공약수가 있으면 기약분수가 아니다. 5 A와 B 모두인 것은 A 또는 B인 것에 포함된다. 5 올림과 버림 중 알맞은 어림 방법을 선택한다. 5 먼저 구할 수 있는 것부터 차례대로 구한다. 5 겹치는 부분의 수는 색 테이프의 수보다 1 작다. 6 분모가 약분되어 1이면 자연수가 된다. 6 겹쳐진 부분의 몇 배로 도형의 넓이를 구한다. 6 규칙을 찾아 식으로 나타낸다. 6 길의 모양에 따라 나무 사이의 간격 수가 달라진다. 6 되풀이되는 숫자를 알면 소수점 아래 자리 숫자를 구할 수 있다. 6 나누어지는 수에서 나머지를 뺀 수는 나누어떨어진다. 6 분모가 약분되어 1이 되면 자연수가 된다. 6 곱셈과 덧셈으로 나누어지는 수를 알 수 있다. 6 소수점 아래 자리 숫자가 무한히 반복되는 소수가 있다. 6 나누어떨어지려면 남는 것을 버리거나 부족한 만큼 더한다. 6 공통 부분을 뺀 넓이가 같다면 두 도형의 넓이는 같다. 7 나머지가 달라도 부족한 수가 같으면 최소공배수로 묶는다. 7 나머지를 뺀 수의 약수 중 범위에 맞는 것을 고른다. 7 나머지가 같으면 두 수의 차는 나누는 수로 나누어떨어진다. 7 반복되는 수의 자리 숫자 합은 항상 3의 배수이다. 7 두 분수를 곱해 자연수가 되는 가장 작은 분수는 (분모의 최소공배수)/(분자의 최대공약수) 7 분자와 분모의 합으로 묶어 순서를 센다. 7 정수 부분을 떼어 내고 남은 진분수를 뒤집는 일을 반복해 연분수를 푼다. 7 간격이 일정한 네 수는 전체 거리를 3등분해 가운데 두 수를 구한다. 7 위의 수가 아래 두 수의 합이라는 규칙을 거꾸로 써서 단위분수의 빈칸을 채운다. 7 괄호를 풀어 앞의 수끼리, 뒤의 수끼리 다시 묶으면 긴 합이 간단해진다. 8 순환하지 않는 앞자리를 떼고 순환마디 단위로 묶어 더한다. 8 자리를 바꾼 두 순환마디의 합은 두 숫자의 합만 남긴다. 8 분모 11을 99로 맞추면 두 자리 순환마디는 9의 배수다. 8 최소공배수 조건으로 자연수 해의 후보를 좁힌다.
분수와 소수36
3 수의 크기는 높은 자리부터 차례로 비교한다. 3 분자 또는 분모가 같으면 분수의 크기를 비교할 수 있다. 3 분수는 '단위분수의 몇 배'로 나타낼 수 있다. 3 전체를 똑같이 나누어야 분수로 나타낼 수 있다. 3 1보다 작은 분수는 무수히 많다. 3 앞을 전체의 분수만큼으로 나타내면 전체는 1이다. 3 분수의 종류를 같게 해야 크기를 비교할 수 있다. 3 어떤 수의 ▲/■배는 어떤 수이다. 3 진분수만큼의 양은 1보다 적다. 3 분자가 같은 분수는 분모가 작을수록 큰 수이다. 4 □의 바로 아랫자리를 비교한다. 4 두 식의 값이 같은 경우를 생각하여 조건에 맞는 수를 구한다. 5 분모가 같아야 분수의 순서를 알 수 있다. 5 분모나 분자가 같아야 분수의 크기를 비교할 수 있다. 5 분모와 분자에 같은 수를 곱하면 분수의 크기는 같다. 5 두 수의 차가 작을수록 두 수 사이가 가깝다. 5 조건에 맞는 수를 차례로 구한다. 5 전체에 대한 각 분수만큼의 합을 구한다. 5 공이 튀어 오르는 높이의 비율은 일정하다. 5 분수만큼의 양은 전체 양에 분수를 곱한 값이다. 5 분수만큼의 양은 전체 양에 분수를 곱한 값이다. 5 실제 거리에 축척을 곱한 값이 지도에 그려진 길이이다. 5 부분의 값을 알면 전체의 값을 알 수 있다. 5 단위분수는 분모가 작을수록 크다. 5 양을 전체의 분수만큼으로 나타내면 전체는 1이다. 6 소금물의 양에 대한 소금의 양의 비율이 진하기이다. 6 할인율은 원래 가격에 대한 할인 금액의 비율이다. 6 이자율은 예금한 돈에 대한 이자의 비율이다. 6 백분율은 기준량이 100이다. 6 넓이에 대한 인구의 비율이 인구 밀도이다. 6 비율로 부분의 넓이를 구할 수 있다. 6 비의 관계를 수로 나타낸 것이 비율이다. 6 걸린 시간에 대한 간 거리의 비율이 빠르기이다. 6 분수만큼의 양으로 전체 양을 구한다. 7 분자를 같게 맞추면 분모의 범위가 보인다. 7 양 끝을 같은 분모로 바꿔 분자의 범위를 센다.
측정과 시간18
2 두 가지 단위의 길이로 물건의 길이를 잴 수 있다. 2 단위의 길이가 다르면 잰 횟수도 다르다. 2 단위를 통일한 후 길이를 비교한다. 2 시를 먼저 비교한 다음 분을 비교한다. 2 각 월마다 날수는 다르다. 2 시각과 시각의 사이가 시간이다. 2 느린 시계는 정확한 시계보다 전의 시각을 가리킨다. 2 먼저 몇 시 정각을 만든다. 2 거울에 비친 시계는 왼쪽과 오른쪽이 바뀐다. 2 짧은바늘이 8과 9 사이에 있으면 8시 ■분이다. 3 움직인 거리가 늘어나는 만큼 시간도 늘어난다. 3 오전 12시간과 오후 12시간이 하루 24시간이다. 3 단위가 같아야 길이의 합과 차를 구할 수 있다. 3 느린 시계는 정확한 시각보다 전의 시각을 가리킨다. 3 전체는 부분의 합이다. 3 시, 분, 초는 60이 되면 단위가 바뀐다. 4 큰 단위를 사용하면 간단한 수로 나타낼 수 있다. 5 분수를 사용하면 작은 단위를 큰 단위로 나타낼 수 있다.
도형104
3 작은 도형들이 모여 큰 도형이 된다. 3 직선을 자른 한 도막이 선분이다. 3 겹쳐진 원의 중심을 지나는 선분의 길이는 반지름의 몇 배다. 3 지름은 반지름의 2배이다. 3 원을 이어 붙인 직사각형의 가로와 세로는 지름의 몇 배이다. 3 원의 중심에서 원 위의 점 사이의 거리는 같다. 3 도형의 둘레는 원의 반지름인 부분과 아닌 부분의 합이다. 3 서로 이웃하는 원끼리 중심을 이어서 만든 도형의 둘레 구하기 3 서로 맞닿게 이어서 만든 도형의 둘레 구하기 3 각 원의 반지름이나 지름을 구한다. 3 한 원에서 반지름의 길이는 모두 같다. 3 원의 중심을 이어 만든 도형의 변은 반지름의 합이다. 3 원의 중심을 이어 만든 도형의 변은 반지름의 합이다. 4 시계는 12등분 된 원이다. 4 작은 각들이 모여 큰 각을 만든다. 4 직선은 한 바퀴(360°)의 절반, 180°이다. 4 모든 다각형은 몇 개의 삼각형으로 나뉘진다. 4 모든 사각형의 네 각의 크기의 합은 360°이다. 4 직선은 한 바퀴(360°)의 절반, 180°이다. 4 모든 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180°이다. 4 도형을 짝수 번 뒤집으면 처음 모양과 같다. 4 처음 모양과 뒤집은 모양이 겹친다. 4 뒤집거나 돌려서 다른 숫자, 글자를 만들 수 있다. 4 도형을 한 바퀴 돌리면 처음 모양과 같다. 4 점이 있는 곳은 움직이지 않는다. 4 점, 선, 면의 수는 식으로 나타낼 수 있다. 4 두 점 사이의 거리가 같아야 길이가 같은 변을 만들 수 있다 4 작은 도형들이 모여 큰 도형이 된다. 4 세 변의 길이가 같고 세 각의 크기가 60°로 모두 같다. 4 도형을 접을 때 접혀진 각의 크기는 서로 같다. 4 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 4 한 원의 반지름을 두 변으로 하는 삼각형은 이등변삼각형이다 4 길이가 같은 변을 이용하여 이등변삼각형을 찾는다 4 도형을 돌려도 변의 길이나 각의 크기는 변하지 않는다. 4 평행선을 그어 두 평행선과 한 직선이 만나는 각을 만든다. 4 같은 위치에 있는 각, 엇갈린 위치에 있는 각은 서로 같다. 4 작은 도형이 모여 큰 도형이 된다. 4 종이를 접을 때 접힌 각의 크기는 서로 같다. 4 평행사변형에서 이웃하는 각의 크기의 합은 180°이다. 4 수직은 직선(180°)의 절반(90°)이다. 4 직선은 한 바퀴(360)의 절반(180)이다. 4 두 변의 길이가 같고, 두 변과 마주 하는 두 각의 크기가 같다. 4 평행사변형의 한 대각선은 다른 대각선을 반으로 나눈다. 4 모든 다각형은 몇 개의 삼각형으로 나눠진다. 4 정사각형의 두 대각선의 길이는 서로 같고 수직 이등분된다. 5 대칭축은 선대칭도형을 똑같은 모양 2개로 나눈다. 5 합동인 도형에서 대응변의 길이는 같다. 5 겹쳐진 두 도형이 합동이면 겹치지 않은 부분도 합동이다. 5 넓이를 구하는 데 필요한 길이를 찾는다. 5 반으로 접거나 반 바퀴 돌렸을 때 겹치면 대칭이다. 5 대칭축을 그어 선대칭도형을 합동인 2개의 도형으로 만든다. 5 대칭축과 대칭의 중심은 대응점을 이은 선분을 이등분한다. 5 겨냥도에서 점선으로 그린 모서리는 보이지 않는다. 5 전개도에서 이웃하는 면은 입체에서 수직으로 만난다. 5 면은 선으로 둘러싸이고, 선은 점을 이어 그린다. 5 한 면에 수직인 면은 4개, 평행한 면은 1개이다. 5 직육면체에서 마주 보는 두 면은 서로 평행하다. 5 겉으로 드러나는 면의 수는 층과 위치로 정해진다. 5 리본의 길이는 평행한 모서리의 길이와 같다. 6 각기둥의 전개도에서 합동인 두 면이 밑면이다. 6 전개도의 선분은 입체도형의 모서리이다. 6 모서리를 잘라 옆면을 직사각형 한 개로 만든다. 6 면, 모서리, 꼭짓점의 수로 어떤 각기둥인지 알 수 있다. 6 면, 모서리, 꼭짓점의 수로 어떤 각뿔인지 알 수 있다. 6 모서리와 평행한 끈의 길이는 모서리의 길이와 같다. 6 선이 지나는 점을 모두 찾는다. 6 면의 수가 늘어나면 꼭짓점과 모서리의 수도 늘어난다. 6 가로, 세로, 높이에 몇 개 쌓을 수 있는지 구한다. 6 잘라 낸 만큼 공간을 차지하는 크기가 줄어든다. 6 물에 넣은 돌의 부피는 늘어난 물의 부피와 같다. 6 부피, 겉넓이로 모르는 모서리의 길이를 구한다. 6 위, 앞, 옆에서 본 모양으로 직육면체를 그린다. 6 길이의 단위가 같아야 부피를 구할 수 있다. 6 가로, 세로, 높이를 ■배로 늘이면 부피는 (■×■×■)배로 늘어난다. 6 상자 수가 같아도 쌓는 방법에 따라 겉넓이가 달라진다. 6 겉넓이는 입체를 둘러싼 모든 면의 넓이의 합이다. 6 부피는 밑면이 높이만큼 쌓인 크기이다. 6 각 자리에 쌓은 쌓기나무의 개수를 알면 앞, 옆에서 본 모양을 그릴 수 있다. 6 중복해서 빼지는 쌓기나무를 찾아본다. 6 겉으로 드러난 면의 수는 층과 위치로 정해진다. 6 하나의 모양에 덧붙인 모양을 알아본다. 6 평면 위에 높이가 있으면 입체가 된다. 6 정육면체를 만들 때 가장 긴 쪽을 한 모서리의 길이로 한다. 6 앞과 옆에서 본 모양으로 쌓기나무의 개수를 알 수 있는 것부터 찾는다. 6 쌓기나무를 빼낸 후의 모양을 알아본다. 6 겉넓이는 입체를 둘러싼 모든 면의 넓이의 합이다. 6 겉넓이로 원기둥의 높이 또는 밑면의 반지름을 구한다. 6 원기둥을 앞에서 본 모양은 세로로 자른 단면과 같다. 6 원기둥의 전개도에서 길이가 같은 부분을 찾아본다. 6 높이가 같고 반지름이 ●배가 되면 부피는 (●×●)배가 된다. 7 먼저 직선이 어느 변을 지나야 하는지 넓이로 판정한다. 7 원점을 축으로 도는 직선의 기울기는 양 끝점에서 극값이 된다. 8 상수가 없는 두 직선으로 공통점을 먼저 구한다. 8 원점 말고 다른 해가 있으면 두 직선은 같은 직선이다. 8 원점을 지나는 이등분선이 어느 변과 만나는지부터 정한다. 8 고정점을 지나는 직선을 돌려 선분의 양 끝에서 기울기 범위를 잡는다. 8 계수를 맞바꾼 두 직선은 항상 x=1에서 만난다. 8 세 직선이 삼각형을 못 만드는 경우는 평행하거나 한 점에서 만날 때다. 8 정사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 두 대각선의 교점(중심)을 지난다. 8 곱이 0인 방정식의 그래프는 두 직선이므로, 두 방정식의 공통해는 직선끼리의 교점이다. 8 세 직선이 삼각형을 만들지 못하는 경우는 두 직선이 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만날 때이다. 8 원점을 지나는 두 직선이 다른 점에서도 만나려면 두 직선은 일치해야 한다. 8 꼭짓점을 지나는 넓이 이등분선은 맞은편 변 위의 점을 미지수로 두고 한쪽 넓이를 전체의 절반으로 놓아 찾는다. 8 고정된 점을 지나며 도는 직선이 삼각형과 만나지 않으려면 기울기가 꼭짓점을 지날 때의 기울기 범위 밖에 있어야 한다.
둘레와 넓이41
2 가로로 □칸, 세로로 △칸으로 나누면 □×△장이 된다. 2 상자에서 길이가 같은 부분은 각각 4개씩이다. 3 입체를 위, 앞, 옆, 아래에서 보면 평면이다. 3 직사각형과 정사각형에는 길이가 같은 선분이 있다. 3 겹쳐서 생긴 도형의 변은 처음 도형들의 부분이다. 3 도형의 둘레는 그 도형 모양의 변으로 알 수 있다. 3 도형의 둘레는 그 모양의 변으로 알 수 있다. 3 자른 도형의 개수로 처음 도형의 변의 길이를 구한다. 3 연못과 둘레의 도로의 길이 구하기 3 도형의 둘레는 그 모양의 변의 개수로 알 수 있다. 4 조건을 이용하여 모르는 변의 길이를 구한다. 4 도형의 둘레는 모든 변의 길이의 합이다. 4 도형의 둘레는 그 모양의 변의 개수로 알 수 있다. 4 직사각형의 세로 사이의 거리는 가로의 길이와 같다. 4 조각을 하나씩 늘려가며 만들 수 있는 모양의 개수를 구한다. 4 사용된 조각의 모양과 개수를 구한다. 5 둘레는 모든 변의 길이의 합이다. 5 도형의 둘레는 테두리의 각 선분을 이은 것이다. 5 같은 면을 갖는 두 도형은 겹치는 면을 갖는다. 5 겹쳐서 생긴 도형의 변은 처음 도형들의 부분이다. 5 둘레를 '단위길이의 몇 배'로 나타낸다. 5 선을 움직여도 길이는 변하지 않는다. 5 도형의 공통인 변을 이용하여 넓이를 구한다. 5 알 수 있는 것부터 차례로 구한다. 5 삼각형은 밑변에 따라 높이가 달라진다. 5 점대칭도형 전체를 그려 둘레를 구하는 식을 만든다. 5 나누거나 모아서 간단한 도형으로 만들 수 있다. 5 한 모서리를 잘라서 생긴 두 부분의 길이는 같다. 6 전체가 단위 모양 몇 개인지 알아본다. 6 (전체)의 1/■은 (전체)÷■와 같다. 6 각도의 합이 360°보다 크면 원 1개의 넓이보다 넓다. 6 원에 대한 부분의 비는 중심각의 비와 같다. 6 선을 그어 선분과 곡선으로 이루어진 도형을 만든다. 6 두께가 같은 원을 만드는 재료의 비는 넓이의 비와 같다. 6 도형을 한 바퀴 돌리면 둘레만큼 움직인다. 6 일부분을 옮겨서 색칠한 부분을 한 덩어리로 만든다. 6 원에 꼭 맞는 정사각형의 한 변의 길이와 지름은 같다. 6 선분은 변이나 반지름으로, 곡선은 원주로 구한다. 6 만들어진 원의 원주와 길이가 같은 것을 찾는다. 7 좌표축에 평행한 직사각형으로 둘러싸고 바깥 삼각형을 뺀다. 7 사다리꼴에서 두 직각삼각형을 빼 문자로 된 넓이를 구한다.
자료와 그래프49
2 그래프를 보고 전체 자료의 수를 알 수 있다. 2 세로 눈금 한 칸의 크기를 구한다. 2 세로 눈금 한 칸의 크기를 구해 그래프를 완성한다. 2 표는 수로, 그래프는 ○로 정보를 알려준다. 2 표에서 자료의 수를 모두 더하면 합계와 같다. 2 한 항목에 2개의 자료를 나타내면 두 자료를 비교할 수 있다. 3 표는 수로, 그림그래프는 그림으로 정보를 알려준다. 3 그림 한 개가 나타내는 양이 얼마인지 알아본다. 3 표는 각 항목별로 조사한 수와 전체 합계를 알기 쉽다. 3 그림을 보고 전체 자료의 양을 알 수 있다. 4 막대그래프는 많은 정보를 한눈에 알려준다. 4 두 그래프를 연결하면 더 자세한 정보를 알 수 있다. 4 눈금은 자료의 가장 큰 값까지 나타낼 수 있어야 한다. 4 표는 수로, 그래프는 막대로 정보를 알려준다. 4 한 항목에 2개의 자료를 그리면 두 자료를 동시에 알 수 있다. 4 세로 눈금 한 칸의 양을 구한다. 4 각각의 자료 값을 구하여 비교한다. 4 두 그래프 사이의 간격이 클수록 값의 차이가 크다. 4 꺾은선그래프는 조사하지 않은 중간값을 알 수 있다. 4 자료 값이 클수록 높은 곳에 점이 찍힌다. 4 각 항목의 자료 값을 모두 더하면 합계를 알 수 있다. 5 전체 거리를 움직이는 데 걸린 시간을 알아본다. 5 곱으로 구하는 식은 면적으로 나타낼 수 있다. 5 항목의 개수와 평균으로 자료 값의 합을 알 수 있다. 5 달라진 자료 값의 합과 자료의 개수를 구한다. 5 모르는 수가 하나만 있는 식을 만든다. 5 부분 평균을 이용하여 모르는 값을 구한다. 5 확률은 (똑같은 경우의 수) 이다. 6 360°에 대한 각 항목의 각도의 비율로 백분율을 구한다. 6 1 cm의 수량을 알면 전체 수량을 알 수 있다. 6 백분율로 부분의 무게를 구한다. 6 비를 이용하여 항목의 백분율을 구한다. 6 한 항목이 전체가 되는 그래프를 그릴 수 있다. 6 자료의 전체 수가 바뀌면 비율도 바뀐다. 6 한 항목의 수와 비율로 전체 수를 구할 수 있다. 6 백분율과 항목 수의 차이로 전체 수를 구할 수 있다. 7 개수 대응을 거꾸로 읽어 가능한 입력을 모두 찾는다. 7 $xy$가 일정하므로 삼각형의 넓이는 점의 위치와 무관하다. 7 곡선 위 두 점의 $xy$가 같다는 식으로 변의 비를 잡는다. 7 원점 대칭을 이용해 한 사분면만 세고 두 배 한다. 7 그래프의 한 점으로 각자의 속력(비례상수)을 읽는다. 8 합격자·불합격자 평균을 미지수로 두고 전체 평균을 가중평균으로 나타낸다. 8 맞물린 톱니바퀴는 (톱니 수)×(회전수)가 같다. 8 입력마다 고를 수 있는 출력 수를 곱해 함수를 센다. 8 $x+4$, $x+5$ 중 꼭 하나만 소수여야 함수가 된다. 8 $y$값이 모두 다르면 $x$값 두 개가 같아질 때 함수가 깨진다. 8 함숫값의 차를 x의 차로 나누면 언제나 기울기다. 8 y축 방향 평행이동을 x축 방향 평행이동으로 바꿔 읽는다. 8 점이 꺾인 경로를 따라 움직이면 넓이를 구간마다 다른 일차함수로 나타내고, 그 그래프가 만드는 도형의 넓이를 구한다.
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