심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
진분수는 분모와 분자의 차가 작을수록, 분자가 클수록 크다.
수 카드 3, 4, 5, 7, 9 중에서 4장을 골라 한 번씩만 사용하여 (진분수) + (진분수)를 만듭니다. 그 합이 가장 크게 되도록 카드를 배치해야 합니다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기 — 카드 고르는 경우가 많지 않으므로, 먼저 핵심 원리를 잡은 뒤 유력한 후보를 추측하고 합을 확인하면 됩니다. 찾아야 할 패턴은 '진분수는 분모와 분자의 차가 작을수록, 그리고 수가 클수록 크다'는 것입니다. 가장 큰 진분수들을 짧게 나열한 다음, 어떤 두 분수의 합이 가장 큰지 추측하고 더해서 확인합니다.
1STEP 1
큰 진분수의 조건 찾기
진분수는 분자와 분모의 차이가 작을수록 1에 가까우니 4/5와 7/9가 앞선다.
4/5=0.8, 7/9≈ 0.78
분수를 1과 비교하는 것은 4학년 수준입니다. 모자라는 부분이 작을수록 분수는 1에 가깝습니다.
4.NF.A.2Look For A Pattern진분수는 분자가 분모보다 조금만 모자랄 때 1에 가장 가깝다.
왜?
분수는 전체를 분모만큼 똑같이 나눈 뒤 분자만큼 가져오는 것이므로, 1에서 모자란 부분은 가져오지 않은 조각 그 자체다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그러니 남겨 둔 조각이 적을수록 전체에서 덮지 못한 부분이 줄어들어 분수가 1에 더 가까워진다.
왜?
가져오지 않은 조각 하나가 1에서 모자란 양 한 조각과 짝을 이루므로, 조각이 적을수록 모자란 양도 적다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
가장 유력한 진분수 나열하기
그 둘은 서로 다른 네 장을 쓰고 겹치는 카드가 없어 함께 더할 수 있다.
4/5+7/9 는 카드 4,5,7,9 사용
가장 큰 진분수들만 나열하면 찾는 범위가 짧아집니다. 가장 큰 합은 가장 큰 조각에서 나오기 때문입니다.
4.NF.A.2Make A Systematic List3STEP 3
공통분모로 두 분수 더하기
4/5와 7/9를 더하려면 두 분수를 공통분모 45로 통분합니다. 그러면 4/5 = 36/45, 7/9 = 35/45이고, 분자끼리 더합니다.
4/5+7/9=36/45+35/45=71/45=1 26/45
분모가 다른 분수의 덧셈은 조각의 크기를 같게 만들어야 하므로(5학년) 둘 다 45분의 몇으로 바꾼 뒤 더합니다.
5.NF.A.1Guess And Check4STEP 4
다음으로 유력한 추측과 비교하기
다음으로 좋은 3/4 + 7/9는 55/36이라 71/45보다 작으니 앞의 짝이 이긴다.
3/4+7/9=55/36≈ 1.53 ＜ 71/45≈ 1.58
더 작은 진분수가 들어간 짝은 반드시 합이 더 작으므로, 경쟁 후보 하나만 확인해도 충분합니다.
4.NF.A.2Guess And Check정답
두 분수 모두 1보다 작은 진분수이므로 그 합은 2보다 작아야 합니다. 답 71/45 = 1 26/45 ≈ 1.58은 실제로 2보다 작으면서 2에 가깝습니다. 두 분수가 모두 1에 가까울 때 기대되는 결과와 정확히 맞습니다.
핵심 정리
진분수는 분자가 분모보다 조금만 작을 때 가장 커요. 그래서 차가 가장 작게 나는 카드를 골라요.
- 큰 진분수의 조건 찾기
- 가장 유력한 진분수 나열하기
- 공통분모로 두 분수 더하기
- 다음으로 유력한 추측과 비교하기
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