심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
섞는 비부터 구한 뒤, 먼저 바닥나는 재료가 만들 수 있는 최대량을 정한다.
흰색:갈색이 3:7인 페인트와 1:4인 페인트가 1200 g씩 있습니다. 섞어서 흰색:갈색이 2:5인 페인트를 만들 때 최대 몇 g까지 만들 수 있는지 구해야 합니다.
비와 비율식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 흰색과 갈색의 양을 표로 정리하고, 목표 비로 두 페인트의 양 사이의 관계를 먼저 찾은 다음, 어느 페인트가 먼저 바닥나는지 따져 봅니다.
1STEP 1
각 페인트를 흰색과 갈색으로 나누기
페인트 P를 x g, 페인트 Q를 y g 쓴다고 합시다. P의 3/10은 흰색, 7/10은 갈색이고, Q의 1/5은 흰색, 4/5는 갈색입니다.
(흰색) = (3/10)x + (1/5)y, (갈색) = (7/10)x + (4/5)y
3:7이란 10몫 중 3몫이 흰색이라는 뜻입니다.
7.RP.A.3Organize Information In More Ways2STEP 2
목표 비 적용하기
흰색:갈색이 2:5이므로 흰색의 5배와 갈색의 2배가 같습니다. 양변에 10을 곱해 분수를 없앱니다.
5((3/10)x + (1/5)y) = 2((7/10)x + (4/5)y), 15x + 10y = 14x + 16y, x = 6y
어떤 양을 만들든 P는 Q의 6배만큼 들어가야 합니다.
8.EE.C.7Convert To Algebra3STEP 3
먼저 바닥나는 페인트 찾기
x = 6y라 P가 6배 빨리 줄어 먼저 바닥납니다(Q를 다 쓰려면 P가 7200 g 필요). x = 1200이면 y = 200입니다.
x = 1200, y = 1200/6 = 200
만드는 양은 y에 따라 커지고, y의 최대는 모자란 재료가 정합니다.
7.RP.A.2Eliminate Possibilities페인트 P가 먼저 바닥나므로 가장 많이 만들 때는 P g을 모두 쓰고 Q는 g을 쓴다.
왜?
목표 비 때문에 어떤 양을 만들든 P는 Q의 배여야 하므로, 한쪽 양이 정해지면 다른 쪽도 정해진다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
왜?
만드는 양은 , 곧 g이므로 Q를 많이 쓸수록 더 많이 만들 수 있다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
Q는 필요한 P g이 g을 넘지 않는 동안만 늘릴 수 있으므로 는 많아야 이고, 이 한계는 Q 자체의 g보다 훨씬 먼저 온다.
왜?
의 배가 이 되는 것은 일 때이다. 나눗셈이 곱셈을 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
는 이하이고 은 보다 작으므로 P의 한계에 먼저 닿으며, 그것이 최대량을 정한다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
4STEP 4
모두 더하기
가장 많이 만들 때는 P를 모두 쓰고 Q를 200 g 씁니다.
1200 + 200 = 1400
전체 양은 7y이므로 y가 클수록 많습니다.
7.RP.A.2Convert To Algebra정답
1400 g
흰색: 3/10 × 1200 + 1/5 × 200 = 360 + 40 = 400 g. 갈색: 7/10 × 1200 + 4/5 × 200 = 840 + 160 = 1000 g. 400:1000 = 2:5이고, 어느 페인트도 가진 양을 넘지 않습니다.
핵심 정리
먼저 두 재료를 섞는 비를 구하고, 그다음 모자란 재료가 만들 수 있는 양을 정하게 합니다.
- 각 페인트를 흰색과 갈색으로 나누기
- 목표 비 적용하기
- 먼저 바닥나는 페인트 찾기
- 모두 더하기
다음은 어디로?
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