심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
괄호를 풀어 앞의 수끼리, 뒤의 수끼리 다시 묶으면 긴 합이 간단해진다.
다음 식을 계산하시오.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 괄호를 하나씩 더하면 오래 걸립니다. 대신 괄호를 풀어 더하는 짝수끼리, 빼는 홀수끼리 다시 묶습니다. 각 홀수는 다른 쪽 짝수보다 1만큼 크므로, 이 규칙 덕분에 거의 모든 수가 지워집니다.
1STEP 1
괄호의 개수 세기
앞의 수는 짝수 2, 4, …, 110입니다.
110 ÷ 2 = 55
괄호가 55개이므로 짝수 55개, 홀수 55개가 있습니다.
7.NS.A.1Look For A Pattern2STEP 2
다시 묶기
덧셈은 순서를 바꾸어도 되므로, 더하는 수끼리, 빼는 수끼리 모읍니다.
(2+4+…+110) - (3+5+…+111)
수가 55개씩인 두 묶음이 됩니다.
7.NS.A.1Organize Information In More Ways3STEP 3
홀수를 짝수와 짝짓기
각 홀수를 바로 아래 짝수에 1을 더한 수로 씁니다. 3=2+1, 5=4+1, ⋯, 111=110+1입니다.
3+5+…+111 = (2+4+…+110) + 55
홀수 묶음은 짝수 묶음에 1을 55번 더한 것입니다.
7.NS.A.1Look For A Pattern빼는 홀수들의 합은 더하는 짝수들의 합에 를 더한 것과 같다.
왜?
홀수 은 각각 짝수 가운데 정확히 하나보다 크므로, 두 목록은 개씩 짝을 이룬다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
은 짝수를 모두 먼저, 을 모두 나중에 오도록 다시 늘어놓을 수 있다.
왜?
합에서 수의 순서를 바꿔도 합은 변하지 않는다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
어느 수끼리 먼저 더하는지 다시 묶어도 합은 변하지 않는다.
🧱덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.
왜?
을 번 더하면 이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
4STEP 4
두 묶음 지우기
홀수 묶음을 빼면 짝수 묶음 전체와 55가 함께 빠집니다.
(2+4+…+110) - (2+4+…+110) - 55 = -55
남는 것은 -1이 55개뿐입니다.
7.NS.A.1Organize Information In More Ways정답
-55
괄호 하나의 값은 107, 103, 99, …처럼 4씩 줄어 마지막이 2-111=-109입니다. 값이 고르게 줄어드므로 평균은 (107+(-109))/2 = -1이고, 괄호 55개의 합은 55 × (-1) = -55입니다.
핵심 정리
합이 길면 서로 지워지는 것끼리 모이도록 순서를 바꾸어 보세요.
- 괄호의 개수 세기
- 다시 묶기
- 홀수를 짝수와 짝짓기
- 두 묶음 지우기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition, Lattice / Grid Pattern from Small Cases, Pair-Sum Invariant, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →