심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
기본 요금 구간에서는 평균이 너무 크므로 초과 구간에서만 평균 비용 부등식을 세운다.
볼펜은 100자루까지 기본 요금 20000원이고, 100자루를 넘는 양에 대해서는 한 자루당 100원씩 더 받습니다. 한 자루당 평균 비용이 150원보다 적어지는 가장 적은 주문량을 구합니다.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 주문량을 100자루를 기준으로 나눕니다. 기본 요금 구간은 평균이 너무 커서 제외되고, 100자루를 넘는 구간에서 전체 비용을 식으로 쓴 뒤 (평균) ＜ 150을 세웁니다.
1STEP 1
100자루 이하는 제외하기
기본 요금 구간에서 평균 비용은 20000을 자루 수로 나눈 값이고, 100자루일 때 가장 작습니다.
20000/100 = 200 ＞ 150
가장 싸게 해도 한 자루당 200원이므로, 답은 100자루보다 많아야 합니다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities2STEP 2
100자루를 넘을 때의 전체 비용
x자루(x ＞ 100)를 주문하면 초과량은 (x - 100)자루입니다.
20000 + 100(x - 100) = 100x + 10000
100자루를 넘으면 비용은 고정된 부분에 한 자루당 100원을 더한 꼴입니다.
7.EE.B.4Identify Subproblems3STEP 3
평균 비용이 150원보다 적을 조건
평균 비용은 전체 비용을 x로 나눈 값입니다. x ＞ 0이므로 양변에 x를 곱합니다.
(100x + 10000)/x ＜ 150 → 100x + 10000 ＜ 150x → 10000 ＜ 50x → x ＞ 200
더 주문하는 볼펜은 한 자루에 100원뿐이라 평균이 점점 100원 쪽으로 내려가고, 200자루를 넘으면 150원 아래가 됩니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra자루보다 많이 주문할 때 평균 비용이 원 미만인 것은 일 때와 같다.
왜?
볼펜 한 자루당 평균 비용은 전체 비용을 자루에 똑같이 나눈 것이므로 이다.
🧱평균은 전체를 고르게 나눈 값평균은 전체를 개수로 나눈 것이므로 전체는 평균 곱하기 개수이며, 그 높이보다 위에 있는 것들이 내어주는 양은 아래에 있는 것들이 필요한 양과 정확히 같다.
왜?
양변에 양수인 자루 수 를 곱하면 수직선이 늘어날 뿐 뒤집히지 않으므로 의 방향이 그대로이다.
🧱부등식의 양변에 곱하기양변에 같은 양수를 곱하면 수직선 위의 간격이 늘어나거나 줄어들어도 순서는 그대로이고, 같은 음수를 곱하면 0을 중심으로 뒤집히므로 부등호 방향이 바뀐다.
4STEP 4
가장 작은 자연수 찾고 확인하기
200보다 큰 가장 작은 자연수는 201입니다. 200과 비교해 확인합니다.
30100/201 ≈ 149.75 ＜ 150, 30000/200 = 150
200자루이면 평균이 정확히 150원이라 150원보다 적지 않습니다.
7.EE.B.4Guess And Check정답
201자루
201자루의 비용은 20000 + 101 × 100 = 30100원이고, 30100 ÷ 201 ≈ 149.75원으로 150원보다 조금 적습니다. 첫 단계에서 확인한 대로 100자루보다 많습니다.
핵심 정리
요금 규칙이 어느 기준에서 바뀌면, 기준의 양쪽을 따로 살펴보세요. 한쪽은 바로 지워질 때가 많습니다.
- 100자루 이하는 제외하기
- 100자루를 넘을 때의 전체 비용
- 평균 비용이 150원보다 적을 조건
- 가장 작은 자연수 찾고 확인하기
다음은 어디로?
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