문제
겉으로 드러나는 면의 수는 층과 위치로 정해진다.
작은 정육면체 27개를 가로 3개, 세로 3개, 높이 3개로 쌓아 큰 정육면체를 만든다. 바닥에 닿는 면까지 포함하여 겉면을 모두 색칠한 뒤 다시 떼어 놓는다. 이때 정확히 두 면에만 색이 칠해진 작은 정육면체가 몇 개인지 세는 문제이다.
도형측정·데이터
내 답
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 작은 정육면체가 큰 정육면체 안에서 어디에 있느냐가 색칠된 면의 수를 결정한다. 꼭짓점 자리는 세 면, 모서리 자리는 두 면, 각 면의 한가운데 자리는 한 면, 그리고 한가운데 깊숙이 숨은 한 개는 한 면도 색칠되지 않는다. 큰 정육면체를 머릿속에 그리거나 직접 만져 보며 위치별로 드러난 면의 수로 분류하면 두 면짜리만 바로 셀 수 있다. 그림을 그리면 그 정육면체들이 놓인 모서리가 잘 보인다.
1STEP 1
위치에 따라 작은 정육면체를 분류하기
작은 정육면체의 칠은 그 자리에 닿는 겉면 수다. 꼭짓점은 3, 모서리는 2, 면 가운데는 1, 속은 0이다.
상자를 단위 정육면체로 채워 세어 본 5학년 학생이라면 어느 작은 정육면체가 큰 정육면체의 겉껍질에 있고 어느 것이 속에 숨어 있는지 상상할 수 있다.
5.MD.C.4Visualize Spatial Relationships2STEP 2
두 면이 색칠되는 자리는 모서리 자리
칠이 두 면이면 모서리 자리이고, 길이 3인 모서리에서 꼭짓점이 아닌 것은 가운데 하나뿐이다.
3 - 2 = 1
모서리는 정육면체 3개가 늘어선 줄과 같다. 양 끝 꼭짓점 두 개를 떼어 내면 한가운데에 딱 한 개가 남고, 그 한 개가 바깥 면을 두 개 보여 준다.
5.MD.C.3Draw A Diagram작은 정육면체에 칠해진 면이 정확히 둘인 것은 큰 정육면체의 모서리 위에 있으면서 꼭짓점은 아닐 때뿐이다.
왜?
작은 정육면체에 칠해진 면은 큰 정육면체의 겉면 중 그 자리에 닿는 면들 그대로이고, 닿는 겉면 하나마다 칠이 한 번씩 묻는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
모서리 위이면서 꼭짓점에서 비켜난 자리에는 겉면이 정확히 둘 닿고, 면 한가운데 자리에는 하나, 꼭짓점 자리에는 셋이 닿는다.
왜?
큰 정육면체의 겉은 면과 모서리와 꼭짓점으로 이루어져 있으므로, 작은 정육면체가 어디에 있느냐가 몇 개의 겉면이 닿는지를 정한다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
정육면체의 모서리 개수 세기
정육면체의 모서리는 12개이고, 모서리마다 그런 가운데 정육면체가 꼭 하나씩 있다.
4 + 4 + 4 = 12
실제 상자를 손에 들고 12개 모서리를 손가락으로 따라가 보면, 각 모서리에는 두 꼭짓점 사이에 정육면체가 하나 있다는 것을 느낄 수 있다.
5.MD.C.3Create A Physical Representation4STEP 4
모서리 수와 모서리당 정육면체 수를 곱하기
모서리가 12개이고 각 모서리에 두 면짜리 정육면체가 1개씩 있으므로, 정확히 두 면이 색칠된 작은 정육면체의 총 개수는 12 곱하기 1이다.
12 × 1 = 12
똑같은 묶음이 반복되는 것(모서리마다 1개, 모서리 12개)은 곧 곱셈이며, 상자 안 정육면체를 한 층씩 세는 것과 같은 기술이다.
5.MD.C.5Visualize Spatial Relationships정답
12
27개가 모두 셈에 들어갔는지 확인한다. 꼭짓점 8개(3면) + 모서리 12개(2면) + 면 한가운데 6개(1면) + 숨은 한가운데 1개(0면) = 8 + 12 + 6 + 1 = 27. 합이 맞고, 12는 27보다 작은 자연수이므로 답이 타당하다.
핵심 정리
두 면이 색칠된 정육면체는 각 모서리의 한가운데에 있고, 정육면체에는 모서리가 12개이므로 모두 12개다.
- 위치에 따라 작은 정육면체를 분류하기
- 두 면이 색칠되는 자리는 모서리 자리
- 정육면체의 모서리 개수 세기
- 모서리 수와 모서리당 정육면체 수를 곱하기
다음은 어디로?
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