심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
계수를 맞바꾼 두 직선은 항상 x=1에서 만난다.
계수를 맞바꾼 두 직선 y=ax+b, y=bx+a의 교점이 제4사분면에 있습니다. ab ＞ 0, a ≠ b일 때 점 (a, b)가 어느 사분면에 있는지 정합니다.
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 작은 문제 둘로 나눕니다. 먼저 두 식을 같다고 놓아 교점을 구하면, 계수가 맞바뀌어 있어서 x좌표가 딱 1로 나옵니다. 그다음 제4사분면 조건이 a+b의 부호를 알려 주고, ab ＞ 0과 함께 두 부호가 모두 정해집니다.
1STEP 1
두 식을 같다고 놓기
교점에서는 두 직선의 y의 값이 같습니다.
ax+b=bx+a → (a-b)x=a-b
양변에 같은 a-b가 있습니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra2STEP 2
a - b로 나누기
a ≠ b이므로 a-b로 나눌 수 있습니다. x=1을 한쪽 식에 넣습니다.
x=1, y=a · 1+b=a+b
a, b가 무엇이든 교점은 (1, a+b)입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra두 직선은 언제나 인 곳에서 만난다.
왜?
교점에서는 두 값이 같고, 의 양변에서 와 를 똑같이 빼도 등식은 그대로 유지된다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
는 를 묶음 만든 것이므로 식은 가 된다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
이므로 양변을 로 나누면 곱셈이 되돌려져 이 남는다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
제4사분면 조건 쓰기
제4사분면 위의 점은 x좌표가 양수, y좌표가 음수입니다. x=1 ＞ 0은 이미 맞으니 y좌표만 따지면 됩니다.
a+b ＜ 0
a와 b의 합이 음수입니다.
6.NS.C.6Identify Subproblems4STEP 4
부호 정하기
ab ＞ 0이면 a, b의 부호가 같습니다. 둘 다 양수라면 a+b도 양수가 되므로 안 됩니다. 따라서 둘 다 음수입니다.
a ＜ 0, b ＜ 0
x좌표, y좌표가 모두 음수인 점은 제3사분면에 있습니다.
6.NS.C.6Eliminate Possibilities정답
제3사분면
예: a=-1, b=-2(ab=2 ＞ 0). y=-x-2와 y=-2x-1은 -x-2=-2x-1, 즉 x=1, y=-3에서 만나 제4사분면에 있습니다. 점 (a, b)=(-1, -2)는 제3사분면입니다.
핵심 정리
기울기와 y절편을 맞바꾼 두 직선은 언제나 x=1에서 만나요. 대칭은 공짜 힌트예요.
- 두 식을 같다고 놓기
- a - b로 나누기
- 제4사분면 조건 쓰기
- 부호 정하기
다음은 어디로?
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