심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
$k$의 값에 관계없이 성립하면 $k$에 대한 항등식으로 본다.
에 대한 방정식 이 의 값에 관계없이 항상 를 해로 가질 때, 두 상수 , 의 합 의 값을 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — x=2를 대입하고 나면 k를 정해진 수가 아니라 문자로 바라봅니다. 모든 k에 대해 성립하는 등식은 k에 대한 항등식이므로, 양변의 k의 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다.
1STEP 1
해를 대입하기
x=2가 항상 해이므로 방정식에 x=2를 대입하고 정리합니다.
(2k+3) × 2-3a=bk+3 → 4k+6-3a=bk+3
이제 남은 문자는 k, a, b뿐입니다.
7.EE.A.1Convert To Algebra2STEP 2
k에 대한 항등식으로 보기
4k+6-3a=bk+3은 모든 k에 대해 참입니다. 모든 k에서 같은 두 식은 k의 계수가 같아야 합니다.
4=b → b=4
k의 계수가 다르면 k를 바꿀 때 양변이 서로 달라집니다.
8.EE.C.7Change Focus Count The Complement가 모든 에 대해 참이므로 는 여야 한다.
왜?
모든 에서 값이 같은 두 의 식은 의 개수(계수)도 같아야 한다.
🧱같은 다항식은 계수끼리 같다모든 값에서 일치하는 두 다항식은 각 차수의 계수가 같아야 하므로, 항등식 하나가 평범한 방정식의 목록이 된다.
왜?
를 에서 로 바꿔 보면 왼쪽은 , 오른쪽은 만큼 커지는데, 같던 두 변이 계속 같으려면 커진 양도 같아야 한다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
3STEP 3
상수항 비교하기
k의 계수가 같으니 k가 없는 부분도 같아야 합니다.
6-3a=3 → 3a=3 → a=1
간단한 일차방정식 하나로 끝납니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
두 상수 더하기
두 값을 더합니다.
a+b=1+4=5
두 상수를 모두 구했습니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
5
a=1, b=4이면 방정식은 (2k+3)x-3=4k+3입니다. x=2일 때 좌변은 4k+6-3=4k+3이 되어 모든 k에서 우변과 같습니다.
핵심 정리
'k의 값에 관계없이'라는 말이 보이면 k가 붙은 부분과 숫자만 있는 부분을 따로 맞춰 보세요.
- 해를 대입하기
- k에 대한 항등식으로 보기
- 상수항 비교하기
- 두 상수 더하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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