심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
반복되는 시간의 공배수가 될 때 동시에 일어난다.
하얀색 전구는 초 동안 켜졌다가 초 동안 꺼지고, 노란색 전구는 초 동안 켜졌다가 초 동안 꺼집니다. 두 전구를 동시에 켰을 때, 분 동안 두 전구가 모두 켜져 있는 시간은 몇 초일까요?
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 두 전구는 각각 일정한 박자로 반복됩니다. 하얀색은 9 + 6 = 15초마다, 노란색은 7 + 3 = 10초마다 다시 시작합니다. 두 전구의 전체 모습은 15와 10의 최소공배수인 30초마다 똑같이 반복됩니다. 그래서 60초를 모두 따라가는 대신, 더 쉬운 30초 한 주기만 풀어서 겹치는 시간을 센 뒤 그 값을 두 배로 하면 됩니다. 각 전구의 켜진 구간을 나열하면 겹치는 부분을 한눈에 찾을 수 있습니다.
1STEP 1
각 전구의 한 주기 길이 구하기
각 전구의 켜진 시간과 꺼진 시간을 더하면 패턴이 다시 시작되기까지의 길이가 나옵니다. 하얀색: 9 + 6, 노란색: 7 + 3.
9+6=15, 7+3=10
켜짐-꺼짐 한 번이 반복되는 한 덩어리이고, 그 뒤는 도장을 계속 찍듯 똑같이 되풀이됩니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern2STEP 2
전체 패턴이 반복되는 시점(최소공배수) 찾기
두 주기가 다시 맞물리는 때는 15와 10의 최소공배수인 30초다.
LCM(15,10)=30
30초 뒤에는 두 전구가 다시 '방금 켜진' 상태로 함께 돌아오므로, 다음 30초는 처음 30초를 그대로 다시 트는 것과 같습니다.
6.NS.B.4Look For A Pattern두 전등이 켜지고 꺼지는 전체 모습은 30초마다 처음부터 다시 시작된다.
왜?
두 전등은 각자 정해진 주기로 되풀이된다. 흰 전등은 15초마다, 노란 전등은 10초마다 같은 모습으로 돌아온다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
왜?
두 전등이 처음과 똑같은 모습이 되려면 둘이 동시에 각자의 시작 순간으로 돌아와야 하고, 그런 때가 처음 오는 것이 30초다.
왜?
둘이 동시에 시작으로 돌아오는 순간은 15초 주기를 온전히 몇 번, 10초 주기도 온전히 몇 번 지난 때여야 한다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
처음 30초 동안 켜진 구간 나열하기
030초에서 흰 전등은 09, 1524초에, 노란 전등은 07, 1017, 2027초에 켜진다.
하얀: [0,9), [15,24) 노랑: [0,7), [10,17), [20,27)
켜진 시간 구간을 직접 적어 보면, 깜빡이는 문제가 비교하기 쉬운 두 개의 목록으로 바뀝니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
한 주기(30초) 안에서 겹치는 부분 찾기
켜진 구간이 겹치는 것은 7초, 2초, 4초라 한 주기에 13초다.
7+2+4=13초
더 쉬운 30초 부분을 먼저 풀면, 1분 전체를 훑지 않고 짧은 겹침 몇 개만 찾으면 됩니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem5STEP 5
1분 전체를 위해 두 배로 늘리기
다음 30초도 같은 모습이 되풀이되므로 1분에는 13 + 13 = 26초다.
13 × 2=26초
한 주기를 다 풀고 나면 나머지 시간은 같은 답이 되풀이될 뿐이라 다시 셀 필요가 없습니다.
6.NS.B.4Look For A Pattern정답
26초
60초 중 26초는 1분의 절반보다 조금 적은데, 이는 합리적입니다. 하얀색은 15초마다 9초(60%) 켜지고 노란색은 10초마다 7초(70%) 켜지므로, 둘 다 켜진 시간은 더 작은 쪽보다 적어야 합니다 — 분명히 60초보다 훨씬 적고 1분의 적당한 일부입니다. 0초부터 59초까지 한 초씩 직접 세어 봐도 두 전구가 함께 켜진 시간은 정확히 26초로 주기 방법과 일치합니다.
핵심 정리
두 가지가 각자의 박자로 깜빡일 때 전체 패턴은 두 주기의 최소공배수마다 반복되므로, 한 주기만 풀고 그것을 되풀이하면 됩니다.
- 각 전구의 한 주기 길이 구하기
- 전체 패턴이 반복되는 시점(최소공배수) 찾기
- 처음 30초 동안 켜진 구간 나열하기
- 한 주기(30초) 안에서 겹치는 부분 찾기
- 1분 전체를 위해 두 배로 늘리기
다음은 어디로?
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