심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
전체 일을 1로 두고 하루 일의 양을 미지수로 놓으면, 세 사람 식에서 두 사람 식을 빼 한 사람씩 구한다.
A, B, C의 세 가지 조합이 어떤 일을 각각 6일, 9일, 12일에 끝냅니다. A와 B가 함께 하루에 하는 일의 양이 전체의 얼마인지 구해야 합니다.
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 전체 일을 1로 두고 각자의 하루 일의 양을 미지수로 놓습니다. 그러면 조합마다 하루 일의 양의 합이 얼마인지 알려 주는 식이 됩니다. 세 사람 조합에서 두 사람 조합을 빼면 한 사람의 양이 남습니다.
1STEP 1
날수를 하루 일의 양으로
A, B, C가 하루에 하는 일의 양을 각각 x, y, z라 합니다. 6일 걸리는 조합은 하루에 전체의 1/6을 합니다.
x + y + z = 1/6, x + z = 1/9, y + z = 1/12
n일에 끝낸다는 것은 하루에 1/n씩 한다는 뜻입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra2STEP 2
A의 양 구하기
세 사람 조합에서 B와 C 조합을 빼면 A만 남습니다.
x = 1/6 - 1/12 = 2/12 - 1/12 = 1/12
전체 조합에서 일부 조합을 빼면 빠진 사람이 남습니다.
7.NS.A.3Identify SubproblemsA가 하루에 하는 몫은 세 사람이 하루에 하는 몫에서 B와 C가 하루에 하는 몫을 뺀 것이다.
왜?
일정한 빠르기로 일하면 한 일의 양은 하루 몫 × 날수이므로, 일 만에 일을 끝내는 모둠은 하루에 전체의 을 한다.
🧱일정한 비율이 양과 시간을 묶는다어떤 일이 한결같은 비율로 일어나면 양은 비율에 시간을 곱한 것이므로, 셋 가운데 둘을 알면 나머지 하나가 정해진다.
왜?
여럿이 함께 일하면 모둠의 하루 몫은 각자의 몫을 더한 것이므로 , 이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
에서 를 빼면 더한 것을 되돌려 만 남으므로 이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
B의 양 구하기
세 사람 조합에서 A와 C 조합을 빼면 B만 남습니다.
y = 1/6 - 1/9 = 3/18 - 2/18 = 1/18
같은 뺄셈을 다른 조합으로 합니다.
7.NS.A.3Identify Subproblems4STEP 4
A와 B 더하기
A와 B가 함께 하면 두 사람의 하루 일의 양을 더합니다.
1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36
나란히 일하면 하루 일의 양이 더해집니다.
7.NS.A.3Convert To Algebra정답
5/36
C의 양은 1/9 - 1/12 = 1/36입니다. 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6이므로 6일 조합과 맞습니다. A와 B만으로는 36/5 = 7 1/5일이 걸려 C가 도울 때의 6일보다 길어야 한다는 예상과도 맞습니다.
핵심 정리
전체 일을 1로 두면 조합마다 하루 일의 양의 합이 되고, 조합끼리 빼면 한 사람씩 골라낼 수 있습니다.
- 날수를 하루 일의 양으로
- A의 양 구하기
- B의 양 구하기
- A와 B 더하기
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