심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
둘레 조건으로 밑변을 다리로 나타내고 삼각형의 변의 조건으로 다리의 범위를 정한다.
세 변의 길이의 합이 18이고 세 변의 길이가 모두 자연수인 이등변삼각형의 개수를 구합니다.
도형식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 길이가 같은 두 변을 x, 나머지 한 변을 y라 합니다. 둘레 조건으로 y를 x의 식으로 나타내고, 삼각형이 될 조건에서 x의 아래쪽 한계를, y가 양수라는 조건에서 위쪽 한계를 얻습니다. 그 사이의 자연수를 나열합니다.
1STEP 1
나머지 한 변을 x로 나타내기
길이가 같은 두 변을 x, 나머지 한 변을 y라 합니다.
2x + y = 18 → y = 18 - 2x
x를 정하면 둘레 조건이 y를 정해 줍니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra2STEP 2
삼각형이 될 조건에서 아래쪽 한계
길이가 같은 두 변의 합이 나머지 한 변보다 길어야 합니다. (x + y ＞ x는 y ＞ 0이므로 저절로 성립합니다.)
2x ＞ 18 - 2x → 4x ＞ 18 → x ＞ 4.5
같은 두 변이 너무 짧으면 밑변 위에서 서로 만나지 못합니다.
7.G.A.2Convert To Algebra두 같은 변을 합친 길이가 나머지 한 변보다 길어야 하므로 이다.
왜?
나머지 한 변의 한 끝에서 다른 끝까지 꼭짓점을 거쳐 가는 길은 곧장 가는 길보다 짧을 수 없고, 두 같은 변의 합이 나머지 변과 같기만 하면 삼각형은 납작하게 선분이 된다.
🧱두 변의 합은 나머지 한 변보다 커야 한다한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 제삼의 점을 거쳐 가는 길은 곧장 가는 것보다 짧을 수 없으므로, 두 변을 이은 길이가 나머지 한 변보다 커야 삼각형이 납작해지지 않는다.
왜?
의 양변에 를 더하면 두 수가 수직선에서 같은 거리만큼 옮겨지므로 순서는 그대로이고 이 된다.
🧱양변에 같은 수를 더해도 부등호는 그대로두 수를 수직선 위에서 같은 거리만큼 옮기면 오른쪽에 있던 수는 여전히 오른쪽에 있으므로, 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로이다.
3STEP 3
나머지 한 변이 양수라는 조건에서 위쪽 한계
나머지 한 변의 길이도 양수여야 합니다.
18 - 2x ＞ 0 → x ＜ 9
같은 두 변이 둘레를 전부 차지할 수는 없습니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
사이에 있는 자연수 나열하기
4.5 ＜ x ＜ 9인 자연수는 5, 6, 7, 8이고, 각각 y = 18 - 2x를 구합니다.
(5, 5, 8), (6, 6, 6), (7, 7, 4), (8, 8, 2)
세 변의 길이가 모두 같은 정삼각형까지 포함해 4개입니다.
7.G.A.2Make A Systematic List정답
4개
나열한 네 가지 삼각형은 모두 세 변의 길이의 합이 18이고 삼각형 조건을 만족합니다: 5 + 5 ＞ 8, 7 + 4 ＞ 7, 8 + 2 ＞ 8, 그리고 6, 6, 6은 정삼각형입니다. 범위 바로 밖의 (4, 4, 10)은 4 + 4 ＜ 10이라 삼각형이 되지 않습니다.
핵심 정리
삼각형 조건이 아래쪽 한계를, 둘레가 위쪽 한계를 정해 줍니다. 그 사이의 자연수만 세면 됩니다.
- 나머지 한 변을 x로 나타내기
- 삼각형이 될 조건에서 아래쪽 한계
- 나머지 한 변이 양수라는 조건에서 위쪽 한계
- 사이에 있는 자연수 나열하기
다음은 어디로?
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