심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
공배수이면서 제곱수가 되도록 지수를 짝수로 올린다.
을 만족하는 가장 작은 자연수 의 값을 구하시오. (단, , , 는 자연수)
수 체계식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 360과 1500을 소인수분해합니다. c²은 두 수의 최소공배수를 품어야 하고, 그 위에 지수가 모두 짝수여야 합니다. 홀수인 지수를 하나씩 올린 뒤 제곱근을 구합니다.
1STEP 1
두 수를 소인수분해하기
각 수를 소수의 거듭제곱의 곱으로 나타냅니다.
360 = 2³ × 3² × 5, 1500 = 2² × 3 × 5³
이제 소인수별로 지수를 비교할 수 있습니다.
6.EE.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
c²은 공배수
c² = 360a = 1500b이므로 c²은 두 수의 공배수이고, 따라서 최소공배수의 배수입니다. 소인수마다 큰 지수를 택합니다.
2³ × 3² × 5³ = 9000
c²은 9000의 배수입니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems3STEP 3
지수를 모두 짝수로
제곱수는 지수가 모두 짝수입니다. 2와 5의 지수 3은 4로 올리고, 3의 지수 2는 그대로 둡니다.
c² = 2⁴ × 3² × 5⁴ = 90000
9000의 배수인 가장 작은 제곱수입니다.
6.EE.A.1Organize Information In More Ways의 배수인 제곱수 중 가장 작은 것은 이다.
왜?
은 과 의 공배수라서 두 배수 목록에 모두 있으므로, 두 수의 최소공배수 의 배수이다.
🧱공배수는 최소공배수의 배수뿐두 배수 목록에 함께 나타나는 수는 목록이 처음 일치하는 수의 배수뿐이므로, 그 사이의 어떤 수도 공유될 수 없다.
왜?
제곱은 라서 의 소인수를 모두 두 번씩 쓰므로, 의 지수는 같은 수를 두 번 더한 값, 곧 짝수이다.
🧱지수는 반복해서 곱한 횟수지수는 어떤 인수를 몇 번 썼는지만 기록하므로, 밑이 같은 두 거듭제곱을 곱하면 그 횟수를 더하기만 하면 된다.
왜?
의 배수는 를 적어도 세 개, 을 두 개, 를 세 개 가져야 하고, 소인수분해는 하나뿐이므로 이를 넘는 가장 작은 짝수 개수는 , , 이다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
4STEP 4
제곱근 구하기
지수를 모두 반으로 나눕니다.
c = 2² × 3 × 5² = 300
가장 작은 c는 300입니다.
6.EE.A.1Identify Subproblems정답
300
300² = 90000이고 90000 ÷ 360 = 250, 90000 ÷ 1500 = 60이 모두 자연수이므로 a = 250, b = 60이 됩니다.
핵심 정리
제곱수를 만들 때는 지수를 보세요. 모두 짝수여야 합니다.
- 두 수를 소인수분해하기
- c²은 공배수
- 지수를 모두 짝수로
- 제곱근 구하기
다음은 어디로?
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