심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
원점을 지나는 두 직선이 다른 점에서도 만나려면 두 직선은 일치해야 한다.
두 직선 , 이 , 이외의 점에서도 만나도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 먼저 두 식을 정리하면 상수항이 사라져 두 직선 모두 원점을 지납니다. 서로 다른 두 직선은 한 점에서만 만나는데 그 한 점이 이미 원점이므로, 다른 점에서도 만나려면 두 직선이 같은 직선이어야 합니다.
1STEP 1
두 식 정리하기
모든 항을 좌변으로 옮깁니다.
(a-3)x+2y=0, (a-1)x+3y=0
정리하고 나면 숨어 있던 사실, 즉 상수항이 없다는 것이 보입니다.
8.EE.C.8Organize Information In More Ways2STEP 2
두 직선 모두 원점을 지남
상수항이 없어 두 직선 모두 원점을 지나고, 다른 점에서도 만나려면 두 직선이 일치해야 합니다.
한 점을 지나는 두 직선을 떠올려 보면, 겹치지 않는 한 그 점에서 벌어져 다시는 만나지 않습니다.
8.EE.C.8Draw A Diagram원점을 지나는 두 직선이 다른 곳에서도 만나면 두 직선은 같은 직선이다.
왜?
상수항이 없으므로 , 은 과 을 모두 참으로 만들고, 따라서 두 직선은 원점을 지난다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
왜?
두 직선을 , 로 쓰면 공통인 점에서는 , 즉 이다.
왜?
를 묶음 만든 것에서 를 묶음 만든 것을 빼면 를 묶음 만든 것이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
곱이 0이면 인수 중 하나가 0이므로, 이어서 원점이거나 여서 두 직선이 같다.
🧱곱이 0이면 인수 중 하나가 0두 수를 곱해 0이 되면 적어도 하나는 0이었으므로, 인수분해된 방정식은 인수마다 한 경우씩을 내어 준다.
3STEP 3
두 직선을 일치시키기
원점을 지나는 두 직선은 기울기가 같으면 일치합니다. ①에서 y=-((a-3)/2)x, ②에서 y=-((a-1)/3)x입니다.
(a-3)/2=(a-1)/3, 3a-9=2a-2, a=7
기울기가 같고 한 점을 공유하면 같은 직선입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra정답
a=7
a=7이면 두 직선은 4x+2y=0, 6x+3y=0이고 둘 다 y=-2x이므로 (1, -2)를 포함한 모든 점을 공유합니다.
핵심 정리
두 직선은 한 점에서 만나거나 완전히 겹치거나 둘 중 하나예요. 딱 두 점에서만 만날 수는 없어요!
- 두 식 정리하기
- 두 직선 모두 원점을 지남
- 두 직선을 일치시키기
다음은 어디로?
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