문제
겹쳐진 두 도형이 합동이면 겹치지 않은 부분도 합동이다.
직사각형 종이 ㄱㄴㄷㄹ을 오른쪽 아래 부분이 위로 올라가도록 접어 색칠된 삼각형(겹친 부분)을 만들었습니다. 접힌 자국 ㅂㄷ은 15 cm, 아래쪽 변의 ㄴㅂ은 9 cm, 접힌 변 ㅂㅁ은 12 cm입니다. 처음 직사각형 전체의 넓이를 구해야 합니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 접는 문제는 종이를 직접 그리고 접어 보면서 접힌 자국이 만드는 길이를 표시하면 가장 이해하기 쉽습니다. 접힌 자국과 아래쪽 변, 직사각형의 한 변이 직각삼각형을 이루므로 문제를 두 단계로 쪼갭니다. 먼저 그 직각삼각형으로 직사각형의 높이를 구하고, 다음으로 접어도 길이가 변하지 않는 성질로 가로를 구합니다.
1STEP 1
접은 모습을 그리고 표시하기
접힌 선 FC를 그리자. 모퉁이 B가 직각이라 BFC는 FC가 가장 긴 직각삼각형이다.
그림을 그리면 접는 이야기가 평범한 직각삼각형으로 바뀌어, 접힌 종이보다 훨씬 다루기 쉬워집니다.
6.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
직각삼각형으로 높이 구하기
BF가 9, FC가 15이니 남은 변 BC는 12, 곧 익숙한 9-12-15 직각삼각형이다.
9² + BC² = 15² → 81 + BC² = 225 → BC = 12
직사각형의 직각 덕분에 직각삼각형이 보장되므로 세 변은 9, 12, 15로 딱 맞아떨어집니다.
8.G.B.7Identify Subproblems3STEP 3
접는 성질로 가로 구하기
접기는 아래 조각을 늘이지 않고 FE에 포개므로 가로는 9 + 12 = 21 cm다.
width = BF + FE = 9 + 12 = 21
종이를 다시 펴는 모습을 떠올리면 접힌 변이 사실은 아래쪽 변의 한 부분이 자리를 옮긴 것임을 알 수 있어, 길이가 그대로 유지됩니다.
6.G.A.1Create A Physical Representation접어 넘긴 변은 접기 전 길이를 그대로 지닌다.
왜?
접기는 종이의 한 부분을 늘이거나 찢지 않고 다른 자리에 포개는 것이라, 모든 길이가 그대로 옮겨 간다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
그러면 가로 전체는 접어 넘긴 조각과 제자리에 남은 조각을 합한 것으로 읽을 수 있고, 그 사이에 빠진 부분은 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
곱해서 넓이 구하기
직사각형은 가로 21 cm, 세로 12 cm이므로 넓이는 가로 곱하기 세로입니다. 21 곱하기 12 = 252입니다.
21 × 12 = 252
직사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱한 값일 뿐입니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems정답
252 cm²
높이(12 cm)가 가로(21 cm)보다 짧아 옆으로 긴 직사각형과 잘 맞고, 깔끔한 9-12-15 삼각형에서 두 값 모두 자연수로 나옵니다. 넓이 252 cm²는 단위(cm²)가 맞고 21 곱하기 12 종이로는 알맞은 크기입니다.
핵심 정리
종이는 접어도 늘어나지 않으니 접힌 변의 길이는 그대로! 이 성질과 9-12-15 직각삼각형을 이용하면 처음 종이 전체를 되살릴 수 있어요.
- 접은 모습을 그리고 표시하기
- 직각삼각형으로 높이 구하기
- 접는 성질로 가로 구하기
- 곱해서 넓이 구하기
다음은 어디로?
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