심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
분자를 같게 맞추면 분모의 범위가 보인다.
12/n이 3/7보다 크고 4/3보다 작게 되는 자연수 n의 개수를 구합니다.
분수수 체계
내 답
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 미지수가 분모에 있어 바로 비교하기 어렵습니다. 그런데 3과 4는 모두 12의 약수이므로 세 분수의 분자를 12로 맞출 수 있습니다. 분자가 같은 양수끼리는 분모가 클수록 작으므로, 부등식이 n의 범위로 바뀝니다.
1STEP 1
분자를 모두 12로 맞추기
3/7은 분모와 분자에 4를, 4/3은 3을 곱합니다.
3/7 = 12/28, 4/3 = 12/9
크기가 같은 분수로 바꾸었으므로 부등식은 그대로입니다.
4.NF.A.2Organize Information In More Ways2STEP 2
분모끼리 비교하기
분자가 12로 같으면 분모가 클수록 작은 수이므로 대소가 뒤집힙니다. 따라서 n은 9와 28 사이에 있어야 합니다.
12/28 ＜ 12/n ＜ 12/9 ⇔ 9 ＜ n ＜ 28
12/n이 12/9보다 작으려면 n ＞ 9, 12/28보다 크려면 n ＜ 28입니다.
6.NS.C.7Organize Information In More Ways이 과 사이에 있는 것은 이 와 사이에 있을 때와 정확히 같다.
왜?
을 로, 을 로 바꾸는 것은 분자와 분모에 같은 수를 곱한 것이라 두 경계의 값은 그대로이다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
왜?
분자가 똑같이 일 때 분모가 크면 전체를 더 많은, 더 작은 조각으로 자른 것이라 조각의 양이 더 적다. 그래서 분모의 크기 순서가 뒤집힌다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
3STEP 3
자연수 세기
9보다 크고 28보다 작은 자연수는 10부터 27까지입니다.
n = 10, 11, …, 27: 27 - 10 + 1 = 18
처음과 끝을 모두 세면 (끝 - 처음 + 1)개입니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List정답
18개
양 끝을 확인합니다. n = 10이면 12/10 = 1.2 ＜ 1.33으로 성립하고, n = 27이면 12/27 = 4/9 ≈ 0.444 ＞ 0.429로 성립합니다. n = 9, n = 28이면 각각 4/3, 3/7과 같아져 제외됩니다.
핵심 정리
미지수가 분모에 있으면 분자를 맞추고 분모끼리 비교하세요.
- 분자를 모두 12로 맞추기
- 분모끼리 비교하기
- 자연수 세기
다음은 어디로?
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