심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

자리를 바꾼 두 순환마디의 합은 두 숫자의 합만 남긴다.

$a$ , $b$ 는 $10$ 보다 작은 짝수이고, 두 순환소수 $0.\dot{a}\dot{b}$ 와 $0.\dot{b}\dot{a}$ 의 합이 $0.\dot{6}$ 이다. 이때 두 순환소수의 차를 순환소수로 나타내시오. (단, $a>b>0$ )

수 체계식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기 — 자릿값을 이용해 두 순환소수를 분모가 99인 분수로 씁니다. 숫자를 뒤바꾼 두 수를 더하면 a + b만 남고, 짝수 조건으로 숫자가 정해집니다.

1STEP 1

순환마디가 두 자리이면 분모는 99이고, 순환마디 ab는 수 10a + b입니다.

0.\dot{a}\dot{b}

= (10a + b)/99,

0.\dot{b}\dot{a}

= (10b + a)/99

2STEP 2

합은 (11(a + b))/99 = (a + b)/9이고 $0.\dot{6}$ = 6/9입니다.

((10a + b) + (10b + a))/99 = (11(a + b))/99 = (a + b)/9 = 6/9 → a + b = 6

3STEP 3

a + b = 6, a ＞ b ＞ 0인 짝수 쌍을 나열하면 a = 4, b = 2뿐입니다. (6 + 0은 b ＞ 0이라 안 됩니다.)

a = 4, b = 2

4STEP 4

큰 수는 $0.\dot{4}\dot{2}$ , 작은 수는 $0.\dot{2}\dot{4}$ 입니다.

42/99 - 24/99 = 18/99 =

0.\dot{1}\dot{8}

정답

0.\dot{1}\dot{8}

합을 확인하면 42/99 + 24/99 = 66/99 = 2/3 =

0.\dot{6}

입니다. 차 0.1818…도 0.4242… - 0.2424…를 자리별로 빼면 그대로 나옵니다.

핵심 정리

숫자를 뒤바꿔 더하면 자릿값이 정리되어 두 숫자의 합만 남아요.

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