심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

분자를 주어진 합으로 바꿔 쓰면 양변이 같은 꼴이 된다.

상수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여 $3a+2b+c=20$ 일 때, 방정식 $\frac{x}{3a}+\frac{x}{2b}+\frac{x}{c}-6=\frac{4b+2c}{3a}+\frac{6a+2c}{2b}+\frac{6a+4b}{c}$ 의 해를 구하시오. $\left(\text{단, } \frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}\neq 0,\ abc\neq 0\right)$

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 — 분모를 없애는 대신 분자를 봅니다. 4b+2c는 2b+c의 2배이고, 2b+c는 합 20에서 3a를 뺀 것입니다. 세 분자를 모두 이렇게 바꾸면 우변이 좌변과 똑같은 꼴이 되고, x 자리에 40이 들어갑니다.

1STEP 1

첫 번째 분자 바꾸기

2b+c=20-3a이므로 2배합니다.

4b+2c=2(20-3a)=40-6a

2STEP 2

나머지 두 분자 바꾸기

같은 방법으로 3a+c=20-2b, 3a+2b=20-c입니다.

6a+2c=40-4b, 6a+4b=40-2c

3STEP 3

분수 나누기

각 분수는 40을 분모로 나눈 것에서 2를 뺀 것이 됩니다.

(40-6a)/(3a)+(40-4b)/(2b)+(40-2c)/c=40/(3a)+40/(2b)+40/c-6

4STEP 4

양변 비교하기

양변에 6을 더하고 묶으면 x(1/(3a)+1/(2b)+1/c)=40(1/(3a)+1/(2b)+1/c)입니다. 괄호 안은 0이 아니므로 양변을 나눕니다.

x=40

정답

x=40

구체적인 상수로 확인합니다. a=2, b=3, c=8은 6+6+8=20을 만족합니다. x=40일 때 좌변은 40/6+40/6+40/8-6=40/3+5-6=37/3, 우변은 28/6+28/6+24/8=28/3+3=37/3로 같습니다.

핵심 정리

합이 주어지면 '합에서 무엇을 뺀 것'으로 보이는 부분을 찾아 바꿔 써 보세요.

첫 번째 분자 바꾸기
나머지 두 분자 바꾸기
분수 나누기
양변 비교하기

다음은 어디로?

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