심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
절댓값으로 정해지는 두 수의 부호 경우를 모두 조합해 거리의 최댓값·최솟값을 구한다.
, 일 때, 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 먼저 |x|를 구합니다. 그러면 x도 두 가지, y도 두 가지라서 경우는 네 가지뿐입니다. 네 경우를 모두 계산해 가장 큰 값과 가장 작은 값을 고릅니다. 수직선에서 |y-x|가 두 점 사이의 거리라는 것을 보면 왜 그런지도 알 수 있습니다.
1STEP 1
x의 절댓값 구하기
|y|=5이므로 첫 번째 조건은 |x|-5=11이 됩니다.
|x| = 11 + 5 = 16
따라서 x=16 또는 x=-16이고, y=5 또는 y=-5입니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List2STEP 2
부호의 네 가지 경우 나열하기
가능한 값을 모두 짝지어 |y-x|를 계산합니다.
|5-16| = 11, |5-(-16)| = 21, |-5-16| = 21, |-5-(-16)| = 11
나오는 값은 11과 21 두 가지뿐입니다.
7.NS.A.1Make A Systematic List3STEP 3
수직선으로 이유 보기
|y-x|는 두 점 y, x 사이의 거리로, 0의 같은 쪽이면 두 절댓값의 차, 반대쪽이면 두 절댓값의 합입니다.
16-5 = 11, 16+5 = 21
같은 쪽이면 거리가 가장 짧고, 반대쪽이면 가장 깁니다.
7.NS.A.1Draw A Diagram는 수직선에서 두 점 와 사이의 거리이고, 두 점이 의 같은 쪽에 있으면 크기의 차, 반대쪽에 있으면 크기의 합이 된다.
왜?
는 수직선에서 와 사이의 간격이고, 과 는 각 점이 에서 떨어진 거리이다.
🧱절댓값은 0까지의 거리|a|는 수직선에서 a가 0에서 떨어진 거리이므로 어느 쪽에 있든 음수가 될 수 없고, |a - b|는 a와 b 사이의 간격이다.
왜?
두 점 사이에 이 있으면 이 에서 까지의 구간을 길이 인 조각과 인 조각으로 자르므로, 간격은 이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
두 점이 같은 쪽에 있으면 에서 까지의 은 에서 까지의 에 간격을 더한 것이므로, 간격은 이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
최댓값과 최솟값 더하기
최댓값은 21, 최솟값은 11입니다.
21 + 11 = 32
구하는 합은 32입니다.
7.NS.A.1Make A Systematic List정답
32
x=-16, y=5이면 |5-(-16)|=21이고, x=16, y=5이면 |5-16|=11입니다. 두 점은 16+5보다 멀어질 수 없고 16-5보다 가까워질 수 없으므로 21과 11이 최댓값과 최솟값이며, 합은 21+11=32입니다.
핵심 정리
절댓값은 크기만 알려 줍니다. 두 부호를 모두 넣어 보면 거리의 최댓값과 최솟값이 보입니다.
- x의 절댓값 구하기
- 부호의 네 가지 경우 나열하기
- 수직선으로 이유 보기
- 최댓값과 최솟값 더하기
다음은 어디로?
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