심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
항등식에 $0$과 $1$ 같은 특수한 값을 넣는다.
에 대한 함수 가 임의의 , 에 대하여 이고 을 만족할 때, 의 값을 구하시오.
함수식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 일반적인 식 대신 쉬운 특수한 경우를 풉니다. y=0이면 x+y와 x-y가 같아지고, x=y이면 x-y=0이 됩니다. x=1과 함께 쓰면 f(0)이 먼저, 그다음 f(2)가 나옵니다.
1STEP 1
x=1, y=0 넣기
x+y와 x-y가 모두 1이 됩니다.
f(1)f(0)=f(1)+f(1)→ 1 × f(0)=2 → f(0)=2
y=0을 고르면 우변이 아는 값의 두 배로 줄어듭니다.
8.F.A.1Solve An Easier Related Problem규칙에 , 을 넣으면 이 되어 이 정해진다.
왜?
규칙은 모든 수의 쌍에서 참이므로 , 이라는 특정한 쌍에서도 참이다.
🧱모든 수에 성립하는 식은 어느 수에도 성립한다모든 수에 대해 성립하는 등식은 어떤 특정한 수를 넣어도 성립하므로, 0이나 1 같은 특별한 값을 넣어 숨은 값을 찾아도 된다.
왜?
이면 와 가 모두 그냥 이 되는데, 0을 더하거나 빼면 아무것도 바뀌지 않기 때문이다.
🧱덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.
왜?
이므로 왼쪽 은 그냥 이고, 따라서 이다.
🧱곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
2STEP 2
x=1, y=1 넣기
이제 x+y=2, x-y=0이고, f(0)은 이미 압니다.
f(1)f(1)=f(2)+f(0)→ 1=f(2)+2 → f(2)=-1
대입할 때마다 새로 모르는 값이 하나뿐이라 풀 수 있습니다.
8.EE.C.7Convert To Algebra3STEP 3
합치기
구한 두 값을 식에 넣습니다.
2f(0)+f(2)=2×2+(-1)=3
따로 구한 두 값을 더하기만 하면 됩니다.
8.EE.C.7Identify Subproblems정답
3
다른 값으로 맞는지 봅니다. x=2, y=0이면 f(2)f(0)=2f(2), 즉 (-1)×2=-2=2×(-1)로 성립합니다.
핵심 정리
모든 입력에서 성립하는 식이라면 0, 1처럼 다루기 쉬운 값부터 넣어 보세요.
- x=1, y=0 넣기
- x=1, y=1 넣기
- 합치기
다음은 어디로?
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