문제
톱니 수의 공배수만큼 맞물리면 처음 맞물렸던 곳이다.
톱니 수가 24개인 톱니바퀴와 18개인 톱니바퀴가 서로 맞물려 돌아갑니다. 처음에 어떤 한 쌍의 톱니가 맞닿은 상태에서 시작합니다. 돌아가는 동안 맞물리는 지점을 지나가는 톱니 하나하나가 맞물림 한 번입니다. 처음에 맞물렸던 바로 그 톱니 쌍이 다시 만나는 가장 빠른 순간을 찾고, 그때까지 각 톱니바퀴가 몇 바퀴 돌았는지 구합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 톱니바퀴 ㉮는 톱니가 24, 48, 72, ... 개 지날 때마다 처음 톱니로 돌아오고, 톱니바퀴 ㉯는 18, 36, 54, 72, ... 개 지날 때마다 돌아옵니다. 처음 톱니 쌍은 두 목록에 모두 나타나는 첫 번째 수에서 다시 만나는데, 그것이 바로 최소공배수입니다. 대수로 바로 넘어가기보다 각 톱니바퀴가 돌아오는 패턴, 즉 배수를 나열해 공통으로 나타나는 수를 찾는 것이 자연스러운 초등 수준의 방법입니다.
1STEP 1
각 톱니바퀴가 언제 제자리로 돌아오는지 보기
A는 24개마다, B는 18개마다 제자리로 오니, 두 톱니가 다시 만나는 수는 둘 다의 배수다.
㉮: 24, 48, 72, … ㉯: 18, 36, 54, 72, …
초등학생도 두 수의 배수를 나열하고 처음으로 같이 나오는 수를 찾을 수 있습니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
처음으로 공통되는 수(최소공배수) 찾기
두 배수 목록은 72에서 처음 만나므로, 톱니 72개면 두 바퀴가 함께 제자리로 온다.
24 = 2³ × 3, 18 = 2 × 3², 최소공배수 = 2³ × 3² = 72
두 '제자리로 돌아오기' 목록에 처음 같이 나오는 수가 바로 두 톱니 수의 최소공배수입니다.
6.NS.B.4Look For A Pattern같은 두 톱니가 다시 맞물리는 것은 접촉점을 톱니 72개가 지나간 뒤다.
왜?
각 톱니바퀴는 자기 톱니 수만큼 온전히 지나가야 처음 톱니로 돌아오므로, A는 24개마다 B는 18개마다 제자리로 온다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
왜?
처음 맞물렸던 두 톱니가 다시 만나려면 두 바퀴가 동시에 제자리로 오는 톱니 수에 닿아야 하고, 그런 가장 작은 수가 72다.
왜?
두 바퀴를 동시에 제자리로 데려오는 수는 24개씩 온전히, 또 18개씩 온전히 지나간 것이어야 하므로 둘 다의 배수다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
톱니 72개를 각 톱니바퀴의 바퀴 수로 바꾸기
72를 각 바퀴의 톱니 수로 나누면 A는 3바퀴, B는 4바퀴다.
72 ÷ 24 = 3 (㉮), 72 ÷ 18 = 4 (㉯)
공통으로 지나간 톱니 수를 알면 간단한 나눗셈으로 각 톱니바퀴가 몇 바퀴 돌았는지 알 수 있습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List정답
㉮ 3바퀴, ㉯ 4바퀴
지나간 톱니 수가 맞는지 확인합니다. 톱니바퀴 ㉮는 3바퀴 x 24개 = 72개, 톱니바퀴 ㉯는 4바퀴 x 18개 = 72개입니다. 둘 다 72로 같으므로 같은 수의 톱니가 맞물리는 지점을 지나갔고 처음 톱니 쌍이 정말로 다시 맞춰집니다. 작은 톱니바퀴 ㉯가 더 많이(4 ＞ 3) 도는 것도 타당합니다.
핵심 정리
맞물린 톱니바퀴는 톱니 수의 최소공배수에서 다시 맞물리고, 그 값을 각 톱니 수로 나누면 바퀴 수가 나옵니다.
- 각 톱니바퀴가 언제 제자리로 돌아오는지 보기
- 처음으로 공통되는 수(최소공배수) 찾기
- 톱니 72개를 각 톱니바퀴의 바퀴 수로 바꾸기
다음은 어디로?
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