심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
시간은 거리를 속력으로 나눈 값이므로, 속력의 역수가 든 두 식을 그대로 연립한다.
A는 m 떨어진 표적을 향해 사격했는데 발사 후 초가 지나서 탄환이 표적에 맞는 소리를 들었다. B는 A로부터 m, 표적으로부터 m 떨어진 곳에 있는데, A의 총성을 들은 후 초가 지나서 탄환이 표적에 맞는 소리를 들었다. 탄환의 속력을 구하시오. (단, 탄환의 속력은 일정하다.)
식·방정식비와 비율
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 이야기에 나오는 시간은 모두 거리를 탄환의 속력이나 소리의 속력으로 나눈 값입니다. 두 사람의 시간 흐름을 각각 그려 식 두 개를 세우면, 두 식에 똑같은 탄환의 시간이 들어 있으므로 빼면 소리만 남습니다.
1STEP 1
두 속력을 문자로 놓기
탄환의 속력을 초속 x m, 소리의 속력을 초속 y m라 합니다. 이야기 속 시간은 모두 거리를 이 둘 중 하나로 나눈 값입니다.
(시간) = (거리)/((속력))
이동 시간은 거리 나누기 속력이므로 모르는 속력이 분모에 들어갑니다.
6.RP.A.3Analyze The Units2STEP 2
A의 7초 따라가기
탄환이 표적까지 1700 m를 날아가고, 명중 소리가 같은 1700 m를 거쳐 A에게 돌아옵니다.
1700/x + 1700/y = 7
A가 기다린 시간은 탄환이 가는 시간과 소리가 오는 시간 두 토막입니다.
8.EE.C.8Draw A Diagram3STEP 3
B의 5초 따라가기
쏜 순간부터 재면 총성은 980/y초 뒤에 B에게 닿고, 명중 소리는 1700/x + 2000/y초 뒤에 닿습니다. 두 시각의 차가 5초입니다.
1700/x + 2000/y - 980/y = 5, 1700/x + 1020/y = 5
두 소리를 쏜 순간에서 시작하는 한 시간선 위에 놓고 차를 구합니다.
8.EE.C.8Draw A Diagram4STEP 4
빼서 탄환 지우기
두 식에는 똑같은 탄환의 시간 1700/x이 들어 있습니다. 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 소리의 속력만 남습니다.
1700/y - 1020/y = 7 - 5, 680/y = 2, y = 340
분수 하나를 통째로 한 덩어리로 보면, 탄환 덩어리는 문자처럼 그대로 소거됩니다.
8.EE.C.8Convert To AlgebraA의 식에서 B의 식을 빼면 총알이 날아간 시간 가 없어지고 가 남는다.
왜?
각 분수는 거리를 속력으로 나눈 이동 시간이므로 는 두 식에서 똑같은 총알의 비행 시간이다.
🧱일정한 비율이 양과 시간을 묶는다어떤 일이 한결같은 비율로 일어나면 양은 비율에 시간을 곱한 것이므로, 셋 가운데 둘을 알면 나머지 하나가 정해진다.
왜?
같은 것에서 같은 것을 빼면 결과도 같으므로, A의 식의 좌변에서 B의 식의 좌변을 뺀 것은 와 같다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
그 차에서 총알 시간은 자기 자신에서 빠져 없어진다. 뺄셈이 덧셈을 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
는 크기 조각 개에서 같은 조각 개를 뺀 것이므로 이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
5STEP 5
탄환의 속력 구하기
소리가 A에게 돌아오는 데 1700/340 = 5초가 걸리므로, A의 7초 중 나머지 2초가 탄환이 날아간 시간입니다.
1700/x = 7 - 5 = 2, x = 850
한 덩어리를 알면 다른 덩어리는 첫째 식에서 바로 나옵니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra정답
초속 850 m
x = 850, y = 340이면 A는 2 + 5 = 7초를 기다립니다. B에게는 명중 소리가 2 + 2000/340초에, 총성이 980/340초에 닿으므로 차는 2 + 1020/340 = 2 + 3 = 5초입니다. 둘 다 맞고, 초속 340 m는 실제 공기 중 소리의 속력입니다.
핵심 정리
미지수가 분모에 있어도 분수 전체를 한 덩어리로 보면 그 덩어리에 대해서는 일차 연립방정식입니다.
- 두 속력을 문자로 놓기
- A의 7초 따라가기
- B의 5초 따라가기
- 빼서 탄환 지우기
- 탄환의 속력 구하기
다음은 어디로?
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