심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
꼭짓점을 지나는 넓이 이등분선은 맞은편 변 위의 점을 미지수로 두고 한쪽 넓이를 전체의 절반으로 놓아 찾는다.
오른쪽 그림과 같이 점 , , , , 을 꼭짓점으로 하는 오각형 가 있다. 점 를 지나는 직선이 오각형 의 넓이를 이등분할 때, 이 직선의 방정식을 구하시오.
함수도형
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — A를 지나는 수직선 x=1로 오각형을 넓이를 구하기 쉬운 두 조각으로 나눕니다. 두 넓이가 거의 같으므로 이등분선은 수직선에서 조금만 기울어 변 CD 위의 점 M을 지납니다. 차이를 메우는 가는 삼각형의 넓이로 M을 정합니다.
1STEP 1
x = 1로 자르기
A, B 아래 x축 위의 점을 P(1, 0), Q(-2, 0)이라 하면 APDE는 변 4, 3, 높이 2인 사다리꼴입니다.
1/2×(4+3) × 2=7
수직으로 자르면 사다리꼴과 삼각형이 됩니다.
6.G.A.1Identify Subproblems2STEP 2
왼쪽 조각의 넓이
왼쪽 조각 ABCP는 사다리꼴 ABQP(평행한 변 BQ=2, AP=4, 높이 3)에서 삼각형 BQC(두 변 2, 1)를 뺀 것입니다.
1/2×(2+4) × 3-1/2 × 2 × 1=9-1=8
오각형 전체는 7+8=15이므로 각 부분은 15/2이어야 합니다.
6.G.A.1Identify Subproblems3STEP 3
가는 삼각형으로 넓이 옮기기
절반 15/2보다 왼쪽 8이 1/2 크므로, 선을 M(t, 0)으로 기울여 높이 4, 밑변 1-t인 삼각형 AMP를 오른쪽에 넘깁니다.
1/2×(1-t) × 4=1/2, 1-t=1/4, t=3/4
넓이 전체를 다시 구하지 않고 차이만큼만 옮기면 됩니다.
6.G.A.1Draw A Diagram자르는 선을 에서 으로 기울이면 정확히 삼각형 가 오른쪽 조각으로 넘어가므로, 그 삼각형의 넓이는 이어야 한다.
왜?
오각형은 조각 과 을 더한 것이므로 반은 이고, 왼쪽 조각은 넘겨주는 삼각형만큼, 즉 만큼 줄어야 한다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
삼각형 는 축 위의 밑변 를 가지고 는 그 위로 만큼 떨어져 있으므로 넓이는 이다.
🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
4STEP 4
직선 AM의 방정식
직선은 A(1, 4)와 M(3/4, 0)을 지납니다.
(4-0)/(1-3/4)=16, 4=16 × 1+b, b=-12
두 점으로 기울기를, 한 점으로 y절편을 구합니다.
8.F.B.4Convert To Algebra정답
y=16x-12
직선 y=16x-12는 x=3/4에서 x축과 만나고, 이 점은 변 CD(-1과 3 사이) 위에 있습니다. 오른쪽 조각 AMDE의 넓이를 좌표로 계산하면 1/2×(18-4×3/4)=15/2로 15의 정확히 절반입니다.
핵심 정리
넓이를 구하기 쉬운 곳에서 먼저 자르고, 남는 차이만큼만 선을 옮겨요.
- x = 1로 자르기
- 왼쪽 조각의 넓이
- 가는 삼각형으로 넓이 옮기기
- 직선 AM의 방정식
다음은 어디로?
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