심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
공통 범위는 수직선에 나타냈을 때 겹치는 부분이다.
두 개의 수의 범위가 말로 주어졌습니다. 첫 번째 범위는 48부터 72까지의 모든 수로, 48과 72를 포함합니다. 두 번째 범위는 56과 93 사이의 수로, 56과 93은 포함하지 않습니다. 두 범위에 동시에 들어가는 자연수가 몇 개인지 세어야 합니다.
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 두 범위를 하나의 수직선에 나타내면 겹치는 부분, 즉 두 막대가 함께 덮는 구간이 한눈에 보입니다. 까다로운 부분은 끝점이므로, 문제를 작게 쪼갭니다. 겹치는 구간에서 가장 작은 자연수를 찾고, 가장 큰 자연수를 찾은 다음, 개수를 셉니다.
1STEP 1
두 범위를 수직선에 그리기
두 범위를 한 수직선에 칠하자. 끝이 포함되면 속 찬 점, 아니면 빈 점으로 찍는다.
48 ≤ x ≤ 72 and 56 ＜ x ＜ 93
두 막대를 같은 수직선 위에 그리면 '두 범위 모두'라는 말이 '어디서 겹치는가'라는 단순한 생각으로 바뀝니다.
6.NS.C.6Draw A Diagram2STEP 2
겹치는 구간의 왼쪽 끝 찾기
늦게 시작하는 쪽이 이기고 56은 빠지므로, 겹침은 57에서 시작한다.
56 ＜ x → 가장 작은 자연수 = 57
겹치는 구간은 더 까다로운 범위가 허용하는 만큼만 넓어지므로, 두 시작점 중 더 큰 쪽을 택합니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems두 범위가 겹치는 부분은 57에서 시작한다.
왜?
두 범위에 모두 드는 수는 두 시작점을 다 넘어야 하므로, 나중에 시작하는 쪽이 겹치는 부분의 시작을 정한다.
왜?
두 범위에 모두 드는 수들은 두 범위가 함께 덮는 구간 그대로이고, 어느 한쪽 밖에 있는 수는 들어오지 않는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
두 번째 범위는 56을 넣지 않으므로, 그 시작을 넘는 첫 자연수는 바로 다음 수다.
왜?
자연수는 사이에 아무것도 없이 하나씩 이어지므로, 56 다음 수는 57이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
겹치는 구간의 오른쪽 끝 찾기
먼저 끝나는 쪽이 이기고 72는 포함되므로, 겹침은 72에서 멈춘다.
x ≤ 72 → 가장 큰 자연수 = 72
시작과 마찬가지로 겹치는 구간은 더 까다로운 끝에 의해 제한되므로, 두 끝점 중 더 작은 쪽을 택합니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems4STEP 4
57부터 72까지의 자연수 세기
이어진 자연수의 개수는 끝에서 처음을 빼고 1을 더한 것이라 72 - 57 + 1 = 16이다.
72 - 57 + 1 = 16
빼면 간격이 나오고, 1을 다시 더하면 시작하는 수까지 세어지므로 빠뜨리는 수가 없습니다.
6.EE.B.8Identify Subproblems정답
16
겹치는 구간은 57, 58, ..., 72입니다. 이는 두 범위 안쪽에 잘 들어가는 작은 조각이고, 약 15만큼 떨어진 구간에서 16개라는 개수는 타당합니다. 끝점을 확인해 봅니다. 57은 56보다 크고(맞음) 72 이하이므로(맞음) 셉니다. 56은 56 초과가 아니므로 제외됩니다. 73은 72보다 크므로 제외됩니다. 끝점들이 규칙대로 정확히 작동합니다.
핵심 정리
두 범위가 겹칠 때 공통 부분은 더 늦은 시작에서 시작해 더 이른 끝에서 멈춥니다. 그 사이의 자연수를 세기만 하면 됩니다.
- 두 범위를 수직선에 그리기
- 겹치는 구간의 왼쪽 끝 찾기
- 겹치는 구간의 오른쪽 끝 찾기
- 57부터 72까지의 자연수 세기
다음은 어디로?
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