심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
자연수인 해가 정확히 3개가 되도록 경계의 범위를 정한다.
부등식 을 만족시키는 자연수인 해가 개일 때, 상수 의 값의 범위를 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 부등식을 x ≤ (경계) 꼴로 바꾼 뒤 수직선 위에 경계를 놓고, 그 아래의 자연수가 정확히 1, 2, 3이 되도록 합니다.
1STEP 1
분모 없애기
양변에 2를 곱하고 정리합니다.
5x-1-2a ≤ 2x+6 → 3x ≤ 2a+7 → x ≤ (2a+7)/3
양수를 곱하면 부등호의 방향은 그대로입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra2STEP 2
수직선에 경계 놓기
자연수 해가 정확히 1, 2, 3이려면 경계가 3 이상(3 포함)이고 4보다 작아야(4 제외) 합니다.
3 ≤ (2a+7)/3 ＜ 4
부등호가 ≤ 이므로 경계가 3이어도 되지만, 4가 되면 4도 해가 되므로 안 됩니다.
6.EE.B.8Draw A Diagram부등식의 자연수 해가 정확히 세 개인 것은 일 때이고, 그때뿐이다.
왜?
어떤 자연수가 경계 이하이면 그보다 작은 자연수도 모두 경계 아래에 있으므로, 자연수 해는 언제나 빈틈없이 로 이어진다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
부터 시작하는 수의 줄이 정확히 세 개와 짝지어지려면 은 들어가고 는 빠져야 하므로, 은 경계 이하, 는 경계보다 커야 한다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
a의 범위 구하기
각 변에 3을 곱하고 7을 뺀 뒤 2로 나눕니다.
9 ≤ 2a+7 ＜ 12 → 2 ≤ 2a ＜ 5 → 1 ≤ a ＜ 5/2
세 변에 같은 계산을 하면 부등식이 그대로 유지됩니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
1 ≤ a ＜ 5/2
a=1이면 해는 x ≤ 3이고 자연수 1, 2, 3으로 정확히 3개입니다. a=5/2이면 x ≤ 4가 되어 4개이므로 5/2는 빠져야 합니다. a=0.9이면 x ≤ 8.8/3, 약 2.93이므로 2개뿐입니다.
핵심 정리
해의 개수를 세는 문제는 결국 경계가 두 정수 사이 어디에 놓이느냐의 문제예요.
- 분모 없애기
- 수직선에 경계 놓기
- a의 범위 구하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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