문제
두 변의 길이가 같고, 두 변과 마주 하는 두 각의 크기가 같다.
정사각형 ㄱㄴㄷㅂ과 직사각형 ㅂㄷㄹㅁ을 공통 변 ㅂㄷ을 맞대어 겹치지 않게 나란히 이어 붙였습니다. 직사각형의 두 대각선을 그리면 점 ㅅ에서 만나고, 점 ㅅ에서 위쪽으로 벌어지는 각이 120도이며 직사각형의 한 대각선은 32 cm입니다. 정사각형의 둘레를 구해야 합니다.
도형측정·데이터
내 답
cm인가요?
조심 ㅂㄷ = 16 cm에서 멈추면 정사각형의 변 하나만 구한 것이에요 -- 문제는 그 변의 4배인 둘레 전체를 구하라고 했습니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 작업을 나눕니다. 먼저 직사각형 대각선의 성질로 ㅂㅅ과 ㄷㅅ의 길이와 삼각형 ㅂㅅㄷ 안의 각을 구하고, 삼각형 ㅂㅅㄷ이 특별한 삼각형임을 알아내어 ㅂㄷ을 구한 뒤, 4를 곱해 정사각형의 둘레를 구합니다.
1STEP 1
점 ㅅ에서 대각선을 절반으로 나누기
직사각형의 대각선은 서로 같고 교차점에서 이등분되므로, 꼭짓점까지의 한 조각은 32의 절반인 ㅂㅅ = ㄷㅅ = 16 cm입니다.
32 ÷ 2 = 16 cm
직사각형의 대각선은 서로 같고 서로를 이등분하므로, 네 개의 절반 조각이 모두 같은 16 cm입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems2STEP 2
공통 변 쪽 삼각형 안의 각 ㅂㅅㄷ 구하기
위쪽 각 ㅂㅅㅁ이 120도이고, 일직선에서 이웃한 각이 나머지를 채우므로 각 ㅂㅅㄷ = 180 - 120 = 60도입니다.
180° - 120° = 60°
교차점 둘레의 각들이 직선을 채우므로, 120도의 이웃 각은 60도입니다.
4.MD.C.7Draw A Diagram3STEP 3
삼각형 ㅂㅅㄷ이 정삼각형임을 알아내기
ㅂㅅ = ㄷㅅ = 16 cm이고 꼭지각 ㅂㅅㄷ이 60도이면 두 밑각도 60도이므로, 삼각형 ㅂㅅㄷ은 정삼각형이고 ㅂㄷ = 16 cm입니다.
(180° - 60°) ÷ 2 = 60° → ㅂㄷ = 16 cm
꼭지각이 60도인 이등변삼각형은 세 각이 모두 60도가 되어 모든 변이 같아지므로, ㅂㄷ은 16 cm짜리 절반 대각선과 같습니다.
4.G.A.2Identify Subproblems삼각형 FPC는 정삼각형이므로, 세 번째 변 FC도 대각선의 절반인 PF, PC와 같은 16 cm이다.
왜?
삼각형의 세 각이 모두 같으면 어느 두 꼭짓점을 서로 포개도록 접을 수 있고, 그 꼭짓점에 맞닿는 변들이 딱 맞으므로 세 변의 길이가 모두 같아져 FC도 PF, PC처럼 16 cm가 된다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
삼각형 FPC의 세 각이 모두 60도이기 때문이다.
왜?
위쪽 각 FPC는 60도인데, 표시된 120도 각과 대각선을 따라 바로 옆에 나란히 붙어 두 각이 함께 직선을 채우기 때문이다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
왜?
P로 올라가는 두 변 PF와 PC의 길이가 같아서 P를 지나는 선을 따라 접으면 한 아래 각이 다른 아래 각에 그대로 포개지므로, 두 아래 각은 서로 같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
아래 두 각도 각각 60도인데, 세 각의 합이 180도이고 위쪽 각이 이미 60도를 차지하므로 남은 120도가 크기가 같은 두 아래 각에 똑같이 나뉘기 때문이다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
4STEP 4
정사각형의 둘레 구하기
정사각형 ㄱㄴㄷㅂ의 한 변 ㅂㄷ은 16 cm이고, 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 둘레는 4 x 16 = 64 cm입니다.
4 × 16 = 64 cm
정사각형의 둘레는 같은 길이의 네 변을 더한 것이므로, 한 변의 4배입니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems정답
64 cm
4 × 16 = 64 cm
ㅂㄷ = 16 cm는 32 cm 대각선의 정확히 절반이라 믿을 만하고, 정사각형 둘레 64 cm = 4 x 16은 크기와 단위(센티미터)가 알맞습니다. 정삼각형이 120도 표시가 강제하는 60도 각과도 잘 들어맞습니다.
핵심 정리
16과 16인 이등변삼각형의 꼭지각이 60도면 정삼각형이 되어 나머지 변도 16이 돼요 — 4학년 각 감각만으로 풀 수 있어요!
- 점 ㅅ에서 대각선을 절반으로 나누기
- 공통 변 쪽 삼각형 안의 각 ㅂㅅㄷ 구하기
- 삼각형 ㅂㅅㄷ이 정삼각형임을 알아내기
- 정사각형의 둘레 구하기
다음은 어디로?
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