문제
곱으로 구하는 식은 면적으로 나타낼 수 있다.
5학년 학생 50명이 시험을 봤습니다. 전체 평균은 61.8점이고, 남학생 평균은 61점, 여학생 평균은 63점입니다. 50명 중 여학생이 몇 명인지 구하는 문제입니다.
통계·확률
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 평균은 점수의 합을 사람 수로 나눈 값이므로 (합)=(개수)×(평균)이 됩니다. 이 곱은 가로가 개수, 세로가 평균인 직사각형의 넓이와 똑같습니다. 남학생 직사각형과 여학생 직사각형을 나란히 그리면, 문제는 결국 '넓이가 50×61.8인 큰 직사각형 안에 두 직사각형을 끼워 넣기'가 됩니다. 이것을 작은 문제로 쪼개어(먼저 전체 합을 구하고, 그다음 나누기) 풀고, 추측하고 확인하기로 나눈 결과를 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
각 평균을 직사각형의 넓이로 그리기
각 무리를 직사각형으로 그리자. 가로는 인원, 세로는 평균, 넓이는 그 무리의 합계다.
total = count × mean
평균은 모두가 똑같이 나눠 가질 때 한 사람 몫이므로, 그 몫을 사람마다 다시 모으면 총합이 됩니다. 넓이=가로×세로도 같은 곱셈을 그림으로 나타낸 것뿐입니다.
6.SP.A.3Draw A Diagram2STEP 2
반 전체 직사각형의 넓이 구하기
학급 전체는 가로 50, 세로 61.8인 직사각형이라 넓이가 3090점이다.
50 × 61.8 = 3090
평균과 사람 수를 알면 평균을 거꾸로 돌려 반 전체가 얻은 점수 덩어리를 되찾을 수 있습니다.
6.NS.B.3Identify Subproblems3STEP 3
전체 평균을 각 집단 평균과 비교하기
여학생은 학급 평균보다 1.2 위에, 남학생은 0.8 아래에 있다.
61.8 - 61 = 0.8, 63 - 61.8 = 1.2
평균은 균형점입니다. 여학생이 평균 위로 얼마나 떠 있는지에 여학생 수를 곱한 값은, 남학생이 평균 아래로 얼마나 내려가 있는지에 남학생 수를 곱한 값과 같아야 합니다.
6.SP.B.5Draw A Diagram4STEP 4
두 부분을 균형 맞춰 50명 나누기
1.2 곱하기 여학생과 0.8 곱하기 남학생을 맞추면 50명이 2 : 3으로 갈린다.
1.2 × g = 0.8 × b → g : b = 2 : 3 → g = 2/5 × 50 = 20
평균에서 더 멀리 떨어진 집단은 균형을 끌어당기는 데 사람이 적게 필요하고, 가까운 집단은 많이 필요합니다. 그래서 거리가 작은 쪽(남학생 0.8)이 사람 수가 많은 쪽(남학생 30명)과 짝지어집니다.
6.RP.A.3Guess And Check여학생이 전체 평균보다 높은 만큼과 남학생이 낮은 만큼은 정확히 서로 지워진다.
왜?
모두의 점수 합계는 무리별로 세든 한꺼번에 세든 같은 값이 나온다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
점수를 0이 아니라 전체 평균에서부터 재면, 남는 것은 0이 되어야 한다.
왜?
전체 합계는 학생 한 명마다 평균을 한 번씩 놓은 것이므로, 학생마다 평균 하나씩을 덜어내면 아무것도 남지 않는다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
5STEP 5
총점이 다시 3090이 되는지 확인하기
합계를 되짚으면 1260 + 1830 = 3090으로 앞의 학급 합계와 같다.
30 × 61 + 20 × 63 = 1830 + 1260 = 3090
두 작은 직사각형이 정말 큰 직사각형을 채운다면, 그 넓이의 합은 반 전체 총점으로 되돌아와야 합니다.
6.NS.B.3Identify Subproblems정답
20명
전체 평균 61.8은 여학생의 63보다 남학생의 61에 훨씬 가깝습니다. 그러므로 여학생보다 남학생이 더 많아야 합니다. 남학생 30명, 여학생 20명은 이에 들어맞고, 되찾은 총점 3090을 50으로 나누면 정확히 61.8이 되므로 답이 일관됩니다.
핵심 정리
평균은 결국 '개수 × 평균 = 합'이고, 이는 직사각형의 넓이입니다. 그래서 두 집단을 섞는 일은 사실 두 직사각형을 큰 직사각형 하나에 끼워 넣는 일입니다.
- 각 평균을 직사각형의 넓이로 그리기
- 반 전체 직사각형의 넓이 구하기
- 전체 평균을 각 집단 평균과 비교하기
- 두 부분을 균형 맞춰 50명 나누기
- 총점이 다시 3090이 되는지 확인하기
다음은 어디로?
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