문제
□의 자리부터 낮은 자리로 비교해간다.
0부터 9까지의 숫자 중에서 □에 넣었을 때 4540159278이 45□2586719보다 큰 부등식이 성립하는 숫자를 모두 구한다.
자릿값
내 답
조심 경계가 되는 자리의 숫자도 성립할 것 같아 그냥 포함하기 쉽지만, □ 자리에 4를 넣으면 실제로는 부등식이 거짓이 되므로 4는 제외해야 한다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 두 수는 자리 수가 같으므로 왼쪽부터 같은 자리끼리 줄을 맞춰 비교한다. 처음으로 숫자가 달라지는 자리가 크기를 결정하므로, 그 자리가 □의 범위를 정해 준다. 그 후 조건을 만족하는 숫자를 모두 나열한다.
1STEP 1
자리를 맞춰 늘어놓기
두 수 모두 열 자리이다. 왼쪽부터 비교하면 맨 앞 두 자리가 4=4, 5=5로 같다.
4 5 4 0 1 5 9 2 7 8 vs 4 5 □ 2 5 8 6 7 1 9
자리 수가 같은 두 수는 왼쪽부터 자리별로 비교하는데, 이것은 수를 소리 내어 읽는 순서와 똑같다.
4.NBT.A.2Draw A Diagram2STEP 2
크기를 결정하는 자리에 이르기
이 자리에서 고정된 수는 4, 다른 수는 □이다. 4540159278이 더 크려면 □는 4 이하여야 한다.
4 ? □
두 수가 처음으로 달라지는 가장 왼쪽 자리가 어느 쪽이 큰지를 결정한다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List두 일곱 자리 수가 위의 두 자리 숫자를 이미 똑같이 가지고 있으면, 만의 자리가 승부를 가르는 자리가 된다: 그 자리에 더 큰 숫자를 가진 수가 더 큰 수이다.
왜?
백만의 자리와 십만의 자리는 두 수에서 같은 숫자를 가지므로 그 부분은 양쪽이 같고, 만의 자리가 두 수가 아직 달라질 수 있는 가장 높은 자리가 된다.
왜?
여러 자리 수는 각 자리에 놓인 값을 모두 더한 것이므로, 어떤 자리가 두 수에서 같은 숫자를 가지면 양쪽에 같은 양을 보태어 비교에서 빠진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
만의 자리의 1은 만의 값이지만, 천·백·십·일의 자리를 모두 합쳐도 최대 구천구백구십구밖에 되지 않으므로, 위쪽의 더 큰 숫자 하나를 아래 자리들이 따라잡을 수 없다.
왜?
각 자리는 바로 오른쪽 자리의 열 배 값을 가지므로, 만의 자리는 천·백·십·일의 자리를 모두 합친 것보다 높다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
3STEP 3
같은 경우 □ = 4 확인하기
□가 4이면 다른 수는 4542586719, 다음 자리에서 0이 2보다 작아 4540159278이 더 작다. 따라서 □는 4보다 작아야 한다.
결정하는 자리의 숫자가 같으면 그 다음 자리를 들여다보는데, 여기서는 4가 너무 크다는 것이 드러난다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List4STEP 4
성립하는 숫자 나열하기
□는 4보다 작으니 0, 1, 2, 3. 이때 45□2586719는 최대 4532586719로 4540159278보다 작다.
□ ∈ {0,1,2,3}
백만의 자리가 4보다 작으면 두 번째 수가 확실히 더 작아진다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List정답
0, 1, 2, 3
□ = 3이면 45□2586719 = 4532586719보다 큰 4540159278(참)이고, □ = 4이면 45□2586719 = 4542586719보다 큰 4540159278(거짓)이다. 경계가 4에서 갈리므로 0, 1, 2, 3이 바로 성립하는 숫자들이다.
핵심 정리
4학년 비교만 할 줄 알면 된다. 수를 자리 맞춰 늘어놓고, 처음으로 달라지는 자리가 답을 알려 준다!
- 자리를 맞춰 늘어놓기
- 크기를 결정하는 자리에 이르기
- 같은 경우 □ = 4 확인하기
- 성립하는 숫자 나열하기
다음은 어디로?
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