심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
간격이 일정한 네 수는 전체 거리를 3등분해 가운데 두 수를 구한다.
네 수가 수직선 위에 크기 순으로 같은 간격을 두고 놓여 있습니다. 양 끝 -1/7과 1 4/7을 알고, 가운데 두 수 x, y의 합을 구해야 합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 네 점을 수직선 위에 그려 봅니다. 첫 점에서 마지막 점까지의 거리는 같은 간격 세 개로 채워지므로, 전체 거리를 구해 셋으로 나누고 -1/7에서부터 한 칸씩 이동합니다.
1STEP 1
전체 거리 재기
1 4/7을 11/7로 바꾸고 왼쪽 끝을 뺍니다. 음수를 빼는 것은 그 절댓값을 더하는 것과 같습니다.
11/7 - (-1/7) = 11/7 + 1/7 = 12/7
첫 점에서 마지막 점까지의 거리는 12/7입니다.
7.NS.A.1Draw A Diagram2STEP 2
한 칸의 간격 구하기
점 네 개 사이에는 같은 간격이 세 개 있습니다.
12/7 ÷ 3 = 4/7
간격 하나는 4/7입니다.
7.NS.A.1Identify Subproblems에서 까지의 구간은 같은 간격 세 개로 이루어지므로, 간격 하나는 그 구간의 이다.
왜?
각 간격을 그 오른쪽 끝 점과 짝지으면 첫 점을 뺀 모든 점이 정확히 한 간격의 오른쪽 끝이 되므로, 점 네 개는 간격 세 개를 만든다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
세 간격은 겹치지 않고 이어져 전체 구간을 채우므로, 합하면 전체 길이가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
같은 간격 세 개가 전체 길이를 이룬다는 것은 전체가 간격 하나의 세 묶음이라는 뜻이므로, 간격 하나는 전체 길이를 으로 나눈 것이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
한 칸씩 이동해 x, y 구하기
-1/7에서 출발해 간격을 하나씩 더합니다.
x = -1/7 + 4/7 = 3/7, y = 3/7 + 4/7 = 1
한 칸 더 가면 1 + 4/7 = 1 4/7로 오른쪽 끝과 맞습니다.
6.NS.C.6Draw A Diagram4STEP 4
가운데 두 수 더하기
x와 y를 더합니다.
3/7 + 1 = 10/7
따라서 x+y=10/7입니다.
7.NS.A.1Identify Subproblems정답
10/7
가운데 두 수는 대칭으로 놓여 있으므로 x+y는 양 끝의 합과 같아야 합니다. -1/7 + 11/7 = 10/7로 일치합니다.
핵심 정리
같은 간격으로 놓인 수에서는 가운데 두 수의 합이 양 끝 두 수의 합과 같습니다.
- 전체 거리 재기
- 한 칸의 간격 구하기
- 한 칸씩 이동해 x, y 구하기
- 가운데 두 수 더하기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition, Lattice / Grid Pattern from Small Cases, Pair-Sum Invariant, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →