문제
선을 그어 선분과 곡선으로 이루어진 도형을 만든다.
정사각형 안의 두 곡선이 만나고 그 사이의 렌즈 모양이 색칠되어 있습니다. 그 넓이를 구해야 합니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 두 교점을 잇는 선분을 그으면 렌즈가 똑같은 굽은 조각 둘로 나뉩니다. 각 조각은 사분원에서 직각삼각형을 잘라 낸 것이므로, 한 번 계산하면 둘 다 됩니다.
1STEP 1
두 교점을 잇는 선분으로 렌즈 자르기
왼쪽 아래 꼭짓점에서 정사각형의 한가운데로 그은 선분이 렌즈를 두 조각으로 나눕니다. 각각 반대쪽으로 볼록하고 모양은 서로 같습니다.
똑같은 굽은 조각 둘입니다.
6.G.A.1Visualize Spatial Relationships2STEP 2
각 조각이 무엇인지 알아보기
한 원에서 두 교점으로 그은 반지름이 직각을 이루므로, 그 조각은 사분원에서 두 반지름 사이의 삼각형을 뺀 것입니다.
6 × 6 × 3.14 ÷ 4 = 28.26
28.26 cm²인 사분원에서 시작합니다.
7.G.B.4Draw A Diagram렌즈의 반쪽은 사분원에서 직각삼각형을 뺀 것이다.
왜?
한 호의 중심에서 두 교점으로 그은 반지름은 길이가 같고 직각으로 만나므로, 그 원의 을 꼭 잘라 낸다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
두 반지름 사이의 삼각형이 그 사분원 안에 들어 있으므로, 그것을 덜어 내면 굽은 조각만 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
삼각형 빼기
삼각형의 두 변은 직각으로 만나는 반지름이므로 6과 6을 곱해 반으로 나눈 것입니다.
6 × 6 ÷ 2 = 18, 28.26 - 18 = 10.26
굽은 조각 하나는 10.26 cm²입니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement4STEP 4
두 배 하기
렌즈는 그런 조각 둘입니다.
10.26 × 2 = 20.52
색칠한 부분의 넓이는 20.52 cm²입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram정답
20.52 cm²
크기를 어림해 확인합니다. 렌즈는 넓이가 36 cm²인 6 × 6 정사각형 안에 들어가고 그보다 훨씬 얇으므로, 20 cm²쯤이 알맞습니다.
핵심 정리
반지름이 같은 두 호 사이의 렌즈는 굽은 조각 둘로 나뉘고, 각각은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것입니다.
- 두 교점을 잇는 선분으로 렌즈 자르기
- 각 조각이 무엇인지 알아보기
- 삼각형 빼기
- 두 배 하기