문제
삼각형은 밑변에 따라 높이가 달라진다.
직각 사다리꼴 ㄱㄴㄷㄹ에서 두 평행한 변 ㄱㄴ(10 cm)과 ㄹㄷ(16 cm)이 모두 아래 변 ㄴㄷ에 수직이라서 ㄴ과 ㄷ이 직각 꼭짓점이다. 대각선 ㄱㄷ(20 cm)을 그으면 사다리꼴이 두 삼각형으로 나뉘고, 꼭짓점 ㄴ에서 ㄱㄷ에 내린 수선은 6 cm이다. 사다리꼴 전체의 넓이를 구해야 한다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 대각선 ㄱㄷ이 사다리꼴을 삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㄱㄷㄹ로 나누므로, 전체 넓이는 더 쉬운 두 삼각형 넓이의 합(작은 문제)이 된다. 삼각형 ㄱㄴㄷ이 다리 역할을 한다. 밑변 ㄱㄷ에 높이 6을 써서 그 넓이를 구하고, 똑같은 넓이를 밑변 ㄱㄴ으로 다시 재면 모르는 변 ㄴㄷ을 거꾸로 알아낼 수 있다. 그 ㄴㄷ이 바로 삼각형 ㄱㄷㄹ의 높이다. 한 삼각형의 넓이는 어느 변을 밑변으로 잡아도 똑같다는 사실을 이용해, 그때그때 편한 밑변을 고르는 것이 핵심이다.
1STEP 1
대각선으로 사다리꼴 나누기
대각선 AC가 사다리꼴을 삼각형 ABC와 ACD로 가르니, 넓이는 그 둘을 더한 것이다.
Area_ABCD = Area_ABC + Area_ACD
어려운 다각형을 대각선으로 잘라 삼각형으로 바꾸면, 이미 아는 삼각형 넓이 구하기로 풀 수 있다.
6.G.A.1Identify Subproblems2STEP 2
밑변 ㄱㄷ으로 삼각형 ㄱㄴㄷ의 넓이 구하기
AC 20 cm를 밑변으로, 높이를 6 cm로 잡으면 삼각형 ABC의 넓이는 60이다.
Area_ABC = 1/2 × 20 × 6 = 60 cm²
6 cm 높이가 ㄱㄷ을 향해 곧게 그어져 있으니, ㄱㄷ을 밑변으로 짝지어 주는 것이 자연스럽다.
6.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
같은 삼각형으로 변 ㄴㄷ의 길이 구하기
대신 밑변을 AB 10 cm로 재도 넓이는 60이라, 높이 BC는 12 cm다.
1/2 × 10 × BC = 60 → BC = 12 cm
같은 삼각형에서 밑변만 바꿔도 넓이는 그대로이므로, 거꾸로 모르는 변을 알아낼 수 있다.
6.G.A.1Draw A Diagram삼각형 ABC의 넓이는 어느 변을 밑변으로 잡아도 같다.
왜?
밑변 곱하기 높이의 절반은 삼각형이 덮는 넓이를 재는 것이고, 그 넓이는 어느 변을 밑변이라 부르든 하나의 같은 넓이다.
왜?
어느 쪽을 고르든 삼각형은 그 밑변과 높이로 만든 직사각형의 딱 절반이므로, 두 직사각형은 똑같은 삼각형을 두 개씩 담고 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그러므로 두 방식으로 구한 값은 같은 수여야 하고, 바로 그 덕분에 이미 아는 넓이로 모르는 높이를 알아낼 수 있다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
4STEP 4
밑변 ㄹㄷ으로 삼각형 ㄱㄷㄹ의 넓이 구하기
밑변 DC 16 cm에 높이 12 cm를 쓰면 삼각형 ACD의 넓이는 96이다.
Area_ACD = 1/2 × 16 × 12 = 96 cm²
ㄴㄷ은 ㄱ에서 변 ㄹㄷ까지 가로로 가는 거리이므로, 밑변 ㄹㄷ에 딱 맞는 높이다.
6.G.A.1Draw A Diagram5STEP 5
두 삼각형의 넓이 더하기
사다리꼴의 넓이는 두 삼각형 넓이의 합이다.
60 + 96 = 156 cm²
두 조각을 다시 합치면 사다리꼴 전체가 된다.
6.G.A.1Identify Subproblems정답
156 cm²
구한 값은 넓이이므로 cm² 단위가 맞다. 사다리꼴 넓이 공식으로 빠르게 확인해 보면, 두 평행한 변의 합의 반에 그 사이 높이를 곱해 (10 + 16) / 2 * 12 = 13 * 12 = 156 cm²로, 삼각형을 따로따로 더한 값과 일치한다.
핵심 정리
삼각형의 넓이는 어느 변을 밑변으로 잡아도 똑같으니, 높이를 쓰기 편한 밑변을 고르자.
- 대각선으로 사다리꼴 나누기
- 밑변 ㄱㄷ으로 삼각형 ㄱㄴㄷ의 넓이 구하기
- 같은 삼각형으로 변 ㄴㄷ의 길이 구하기
- 밑변 ㄹㄷ으로 삼각형 ㄱㄷㄹ의 넓이 구하기
- 두 삼각형의 넓이 더하기
다음은 어디로?
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