문제
수가 놓이는 기준에 따라 수 사이의 관계가 생긴다.
어느 달의 달력(1일이 목요일, 날짜는 1일부터 30일까지)에서 십자 모양은 가운데 수 한 개와 그 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 이웃한 네 수를 가리킵니다. 보기의 십자는 5개의 수의 합이 45입니다. 같은 모양에서 5개의 수의 합이 65가 될 때, 5개의 수 중 가장 큰 수를 구합니다.
연산
내 답
조심 가운데 수를 구했다고 멈추면 안 돼요. 질문은 5개의 수 중 가장 큰 수를 묻는 것이고, 이는 가운데보다 7 큰 아래 칸의 수이지 가운데 수 자체가 아니에요.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 네 이웃은 가운데를 중심으로 대칭(-7, -1, +1, +7)이라서 짝끼리 상쇄되므로, 합은 가운데 수의 5배가 됩니다. 가운데 수를 구하면 가장 큰 수가 나옵니다.
1STEP 1
합이 가운데 수의 5배인 까닭 알기
이웃은 가운데-7, -1, +1, +7이라 5개를 더하면 +7/-7과 +1/-1이 상쇄되어 가운데 수가 5개 남습니다.
(c-7)+(c-1)+c+(c+1)+(c+7) = 5c
위·아래, 왼쪽·오른쪽의 균형 잡힌 이웃들이 평균을 내면 가운데가 됩니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern플러스 모양 안의 다섯 수는 언제나 가운데 수의 다섯 배와 같다.
왜?
네 이웃은 가운데 수에서 짝을 이루는 만큼씩 옮겨진 값이다 — 위로 7, 아래로 7, 왼쪽으로 1, 오른쪽으로 1 — 그래서 다섯 수를 모두 더하면 옮긴 만큼이 짝끼리 상쇄되고 가운데 수의 복사본 다섯 개만 남는다.
왜?
다섯 수는 어떤 순서로도, 어떻게 묶어도 더할 수 있으므로 '7 작은 것'을 '7 큰 것' 옆에, '1 작은 것'을 '1 큰 것' 옆에 놓을 수 있다.
왜?
더하는 수의 순서를 바꿔도 합은 달라지지 않는다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
어느 수끼리 묶어 먼저 더하든 합은 달라지지 않는다.
🧱덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.
왜?
각 짝 안에서 두 옮김은 서로를 지운다 — 7을 더하는 것은 7을 빼는 것을 상쇄하고, 1을 더하는 것은 1을 빼는 것을 상쇄한다 — 그래서 각 짝은 가운데 수에 아무것도 더 얹지 않는다.
왜?
어떤 양을 더한 뒤 같은 양을 빼면 처음 자리로 돌아온다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
두 옮김이 상쇄되고 나면 가운데 수에 더해지는 것은 0이고, 0을 더하면 가운데 수는 그대로 남는다.
🧱덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.
왜?
옮김이 모두 사라지면 다섯 자리에는 가운데 수만 남고, 한 수를 자기 자신에 다섯 번 더하는 것은 그 수의 다섯 배다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
보기로 확인하기
보기의 합은 45이므로 가운데 수는 45를 5로 나눈 9입니다.
45 ÷ 5 = 9
가운데의 5배가 45라면 가운데는 9여야 합니다.
4.OA.C.5Guess And Check3STEP 3
구하려는 십자의 가운데 수 찾기
합이 65이면 가운데 수는 65를 5로 나눈 13입니다.
65 ÷ 5 = 13
같은 규칙에 따라 가운데는 합의 5분의 1입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
가장 큰 수 찾기
5개의 수는 6, 12, 13(가운데), 14, 20이고, 가장 큰 수는 가운데 바로 아래로 13 + 7 = 20입니다.
13 + 7 = 20
가운데보다 한 줄 아래의 수가 십자에서 언제나 가장 큽니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern정답
20
13 + 7 = 20
5개의 수를 더하면 6 + 12 + 13 + 14 + 20 = 65로 주어진 합과 일치하고, 20(20일이며 여전히 1-30 범위 안)이 실제로 가장 큰 수입니다.
핵심 정리
이 문제는 4학년 패턴 감각만 있으면 됩니다. 균형 잡힌 십자는 언제나 가운데 수의 5배가 됩니다!
- 합이 가운데 수의 5배인 까닭 알기
- 보기로 확인하기
- 구하려는 십자의 가운데 수 찾기
- 가장 큰 수 찾기