문제
조건에 맞는 수를 차례로 구한다.
6/13과 크기가 똑같으면서, 분모는 50보다 크고 100보다 작고, 분자는 20보다 크고 80보다 작은 분수가 몇 개인지 세어야 합니다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 6/13과 크기가 같은 분수는 분자와 분모에 같은 자연수 k를 곱해서 만들어지므로, k를 하나씩 늘려 가며 6k/13k를 차례로 나열하고 각 분수가 분모 조건과 분자 조건에 맞는지 확인하면 됩니다. 이렇게 나열하면 빠뜨리거나 중복해서 세는 일을 막을 수 있습니다.
1STEP 1
크기가 같은 분수의 꼴 쓰기
6/13과 같은 분수는 어떤 자연수 k에 대해 분자 6k, 분모 13k인 꼴이다.
6/13=(6 × k)/(13 × k)
분자와 분모에 같은 수를 곱하면 크기가 같은 분수가 된다는 것을 알면, 6/13과 크기가 같은 분수를 모두 이 꼴로 나타낼 수 있습니다.
4.NF.A.1Make A Systematic List6/13과 같은 분수는 모두 어떤 자연수 k에 대해 6k 분의 13k 꼴이다.
왜?
분자와 분모에 같은 자연수를 곱해도 값은 그대로이므로, 6k 분의 13k는 정말로 6/13이다.
왜?
같은 수를 위아래에 쓴 것은 1이고, 1을 곱하면 아무것도 바뀌지 않는다.
🧱곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
왜?
다른 방법은 없다. 6과 13은 공통인 약수가 없어 6/13은 이미 기약분수이고, 같은 값의 분수는 그것을 통째로 몇 배 한 것뿐이다.
왜?
다른 방식으로 만들면 분자와 분모가 6과 13이 지닌 것과 다른 인수를 갖게 된다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
분모 조건으로 k의 범위 좁히기
분모 13k가 50과 100 사이여야 하고, 그런 k는 4, 5, 6, 7이다.
13×4=52, 13×5=65, 13×6=78, 13×7=91
13의 배수를 순서대로 세어 보면 50과 100 사이에 들어가는 것이 무엇인지 한눈에 알 수 있습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
그 k들에 대해 분자 조건 확인하기
그때 분자 24, 30, 36, 42는 모두 20과 80 사이라 넷 다 통과한다.
6×4=24, 6×5=30, 6×6=36, 6×7=42
각 후보의 분자가 범위 안에 드는지 직접 확인해 보는 추측하고 확인하기로, 모든 조건을 만족하는 분수를 가려낼 수 있습니다.
4.NBT.B.5Guess And Check4STEP 4
모든 조건을 만족하는 분수 세기
세 조건을 모두 만족하는 분수는 24/52, 30/65, 36/78, 42/91입니다. 따라서 4개입니다.
24/52, 30/65, 36/78, 42/91
나열이 끝나면 남은 것을 세기만 하면 바로 답이 나옵니다.
4.NF.A.1Make A Systematic List정답
4개
나열한 분수는 모두 약분하면 6/13으로 되돌아가고(예: 24/52 = 6/13), 분모(52, 65, 78, 91)는 모두 50과 100 사이, 분자(24, 30, 36, 42)는 모두 20과 80 사이에 있습니다. 답이 작은 자연수인 것도 '몇 개'를 묻는 개수 문제에 어울립니다.
핵심 정리
크기가 같은 분수는 하나의 곱하는 수 k로 만들어지니, 6k/13k를 차례로 나열하고 두 범위에 맞는 것만 세면 됩니다.
- 크기가 같은 분수의 꼴 쓰기
- 분모 조건으로 k의 범위 좁히기
- 그 k들에 대해 분자 조건 확인하기
- 모든 조건을 만족하는 분수 세기
다음은 어디로?
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