심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
연속해서 커지는 수에는 합이 일정한 두 수의 쌍이 있다.
보기에 연속한 수의 합 두 개가 있습니다(10+11+12=33, 8+9+10+11+12=50). 빈칸을 채워, 연속한 다섯 수의 합이 35가 되고, 연속한 일곱 수의 합이 140이 되도록 합니다.
연산
내 답
조심 가운데 수를 구하려고 나누지 않고, 주어진 합 자체를 가운데로 삼아 수를 늘어놓기 쉬워요.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 연속한 수는 짝을 지으면 바깥쪽 짝끼리의 합이 모두 가운데 수의 두 배와 같습니다. 개수가 홀수이면 합은 개수와 가운데 수의 곱이 되므로, 합을 개수로 나누면 가운데 수가 나오고 전체 묶음을 알 수 있습니다.
1STEP 1
가운데 수 규칙 알아채기
10+11+12=33은 3×11, 8+9+10+11+12=50은 5×10이니, 홀수 개일 때 합이 개수와 가운데 수의 곱과 같습니다.
3 × 11 = 33, 5 × 10 = 50
양 끝을 안쪽으로 짝지으면 각 짝의 평균이 가운데가 되므로, 전체 합이 가운데를 중심으로 모입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern홀수 개의 연속된 자연수를 더하면, 그 합은 수의 개수와 가운데 수를 곱한 것과 같다.
왜?
가운데보다 큰 수마다 넘치는 만큼을 그 아래 짝이 되는 수로 내려 주면, 모든 수를 가운데 수로 바꾸어도 전체 합은 그대로다.
왜?
가운데에서 몇 칸 위에 있는 수는 그 넘치는 만큼이, 같은 칸수만큼 아래에 있는 짝 수가 모자란 만큼과 같은데, 어떤 양만큼 올라갔다가 그만큼 다시 내려오면 서로 상쇄되기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
그 같은 양을 큰 수에서 작은 수로 옮기는 것은 같은 낱개를 자리만 바꾸는 것이라, 모든 수의 합은 변하지 않는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
모든 수가 가운데 수가 되고 나면, 합은 똑같은 가운데 수를 그 개수만큼 더한 것이 되고, 같은 양을 여러 번 더하는 것은 개수와 가운데 수를 곱하는 것과 같다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
다섯 수 줄 풀기
연속한 다섯 수의 합이 35이므로 가운데 수는 35를 5로 나눈 7입니다. 묶음은 7의 앞뒤로 두 수씩입니다.
35 ÷ 5 = 7 → 5+6+7+8+9 = 35
가운데를 알면 양쪽으로 두 칸씩 나가면 됩니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
일곱 수 줄 풀기
연속한 일곱 수의 합이 140이므로 가운데 수는 140을 7로 나눈 20입니다. 묶음은 20의 앞뒤로 세 수씩입니다.
140 ÷ 7 = 20 → 17+18+19+20+21+22+23 = 140
가운데가 균형점이므로 양쪽으로 세 수씩 펼칩니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
5+6+7+8+9 = 35이고, 17+18+19+20+21+22+23 = 140입니다
합을 확인하면 5+6+7+8+9 = 35이고 17+18+19+20+21+22+23 = 140으로 모두 맞으며, 모든 줄이 연속한 수의 묶음을 유지합니다.
핵심 정리
이 문제는 4학년 패턴 감각만 있으면 됩니다. 합을 수의 개수로 나누어 가운데를 찾고, 바깥쪽으로 세어 나가세요!
- 가운데 수 규칙 알아채기
- 다섯 수 줄 풀기
- 일곱 수 줄 풀기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition, Lattice / Grid Pattern from Small Cases, Pair-Sum Invariant, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →