심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
배수는 약수로 나누어떨어진다.
어떤 수와 48이 약수와 배수의 관계라는 것은, 그 수가 48의 약수이거나 48의 배수라는 뜻입니다. 이 수가 될 수 있는 두 자리 수(10부터 99까지)가 몇 개인지 세어 봅니다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 48과 약수·배수의 관계는 두 가지 경우로 나뉩니다. 그 수가 48의 약수인 경우와 48의 배수인 경우입니다. 각 경우를 작은 문제로 따로 다루어 모든 값을 빠짐없이 적고, 그중 두 자리 수만 남긴 뒤, 겹치는 수를 빼고 합칩니다.
1STEP 1
두 가지 경우로 나누기
관계는 어느 쪽이든 되므로, 그 수는 48의 약수이거나 48의 배수다.
약수와 배수는 나누어떨어짐이라는 같은 동전의 양면이므로, 양쪽을 모두 살피면 모든 경우를 빠뜨리지 않습니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems48과 약수-배수 관계인 수는 48의 약수이거나 48의 배수, 둘 중 하나다.
왜?
약수-배수 관계는 한 수를 약수, 다른 수를 배수라고 부르는 것이고, 구하는 수는 어느 쪽에 놓여도 된다.
왜?
어떤 수가 다른 수의 약수라는 말은 뒤엣것이 앞엣것을 온전히 여러 번 복사해 만들어졌다는 뜻이라, 두 수에는 늘 작은 쪽과 큰 쪽이 있다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
두 경우는 겹칠 수 있어서 48은 양쪽 목록에 다 나오지만 그래도 하나로만 센다.
왜?
몇 개인지 센다는 것은 서로 다른 수 하나에 셈 하나를 짝지어 주는 것이므로, 같은 수가 또 나와도 새로 늘지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
48의 약수 중 두 자리 수 나열하기
48의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48입니다. 이 중 두 자리 수만 남기면 12, 16, 24, 48입니다.
48 = 1×48 = 2×24 = 3×16 = 4×12 = 6×8
약수를 짝(작은 약수와 그 짝)으로 묶어 적으면 어떤 약수도 빠뜨리지 않습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
48의 배수 중 두 자리 수 나열하기
48의 배수는 48, 96, 144, ...입니다. 이 중 두 자리 수는 48과 96뿐입니다.
48×1 = 48, 48×2 = 96, 48×3 = 144
48씩 뛰어 세면 금세 두 자리 범위를 벗어나므로 두 자리 배수의 목록은 짧습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
두 목록을 합치고 겹치는 수 빼기
{12, 16, 24, 48}과 {48, 96}을 합치고 48을 한 번만 세면 5개가 남는다.
{12, 16, 24, 48} ∪ {48, 96} = {12, 16, 24, 48, 96}
두 가지 방식 모두에 해당하더라도 같은 두 자리 수는 한 번만 세어야 합니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
5
다섯 개의 답이 모두 10과 99 사이에 있으므로 진짜 두 자리 수입니다. 각각 확인해 보면 12, 16, 24는 48을 나누어떨어지게 하고, 48은 48 자신이며, 96 = 48 x 2는 배수입니다. 48을 나누거나 48의 배수가 되는 다른 두 자리 수는 없으므로 5개가 전부입니다.
핵심 정리
약수일까 배수일까? 둘 다 적은 뒤, 같은 수는 한 번만 세요.
- 두 가지 경우로 나누기
- 48의 약수 중 두 자리 수 나열하기
- 48의 배수 중 두 자리 수 나열하기
- 두 목록을 합치고 겹치는 수 빼기
다음은 어디로?
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