심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
공약수로 경우를 나누고 절댓값의 범위를 센다.
a가 8과 12를 모두 나누어떨어지게 하고, |b|/a가 1/2 이상 2 미만이 되는 정수 순서쌍 (a, b)의 개수를 셉니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 조건 (가)로 a가 몇 개로 줄어드므로 a마다 경우를 나눕니다. 각 경우에 조건 (나)는 |b|의 범위가 되고, |b| 하나마다 양수와 음수 두 개의 b가 나옵니다.
1STEP 1
a의 부호 정하기
(나)에서 |b|/a는 1/2 이상이므로 양수입니다. 분자 |b|는 음수가 아니므로 분모 a가 양수여야 합니다(b ≠ 0).
|b|/a ≥ 1/2 ＞ 0, |b| ≥ 0 → a ＞ 0
나눗셈의 결과가 양수이려면 두 수의 부호가 같아야 합니다.
7.NS.A.2Identify Subproblems2STEP 2
a의 후보 나열하기
(가)에서 a는 8과 12의 양의 공약수, 즉 4의 약수입니다.
a ∈ {1, 2, 4}
경우는 a = 1, 2, 4의 세 가지뿐입니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems3STEP 3
(나)를 |b|의 범위로 바꾸기
(나)의 각 변에 양수 a를 곱합니다.
a/2 ≤ |b| ＜ 2a
양수를 곱하면 부등호 방향은 그대로입니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List가 양수이므로 조건 (b)는 정확히 와 같다.
왜?
비 는 이상인데 분자 는 음수가 아니므로 는 양수여야 한다.
왜?
는 가 에서 떨어진 거리이므로 음수일 수 없다.
🧱절댓값은 0까지의 거리|a|는 수직선에서 a가 0에서 떨어진 거리이므로 어느 쪽에 있든 음수가 될 수 없고, |a - b|는 a와 b 사이의 간격이다.
왜?
부호가 다른 두 수의 몫은 음수이므로, 분자가 음수가 아닌데 몫이 양수이면 분모는 양수여야 한다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
조건 (b)의 각 부분에 양수 를 곱해도 부등호 방향은 그대로이다.
🧱부등식의 양변에 곱하기양변에 같은 양수를 곱하면 수직선 위의 간격이 늘어나거나 줄어들어도 순서는 그대로이고, 같은 음수를 곱하면 0을 중심으로 뒤집히므로 부등호 방향이 바뀐다.
4STEP 4
경우마다 |b| 구하기
a = 1이면 1/2 ≤ |b| ＜ 2, a = 2이면 1 ≤ |b| ＜ 4, a = 4이면 2 ≤ |b| ＜ 8입니다.
a=1: |b| = 1; a=2: |b| = 1, 2, 3; a=4: |b| = 2, 3, …, 7
|b|의 값은 각각 1개, 3개, 6개입니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List5STEP 5
순서쌍 세기
|b| 하나마다 b와 -b가 있으므로 두 배 하여 더합니다.
2 × 1 + 2 × 3 + 2 × 6 = 2 + 6 + 12 = 20
2 + 6 + 12 = 20개입니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List정답
20개
경우마다 하나씩 확인합니다. (1, -1)은 1/1 = 1, (2, 3)은 3/2, (4, -7)은 7/4로 모두 1/2 이상 2 미만입니다. (4, 8)은 정확히 2가 되어 제외되는 것이 맞습니다.
핵심 정리
가능한 분모를 먼저 몇 개로 줄이면, 나머지는 경우마다 세기만 하면 됩니다.
- a의 부호 정하기
- a의 후보 나열하기
- (나)를 |b|의 범위로 바꾸기
- 경우마다 |b| 구하기
- 순서쌍 세기
다음은 어디로?
한 단계 위로추천
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