심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
A와 B 모두인 것은 A 또는 B인 것에 포함된다.
한 반에서 학생의 2/5는 축구를 좋아하고, 8/15는 야구를 좋아하며, 4/15는 두 운동 모두 좋아하지 않습니다. 축구와 야구를 모두 좋아하는 학생이 전체의 몇 분의 몇인지 구해야 합니다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 벤 다이어그램 — 이 문제는 '둘 다', '둘 다 아님', '둘 중 하나'를 다루는데, 이것이야말로 벤 다이어그램으로 정리하기 딱 좋습니다. 먼저 '축구 또는 야구' 원에 들어가는 비율('둘 다 아님'의 나머지)을 구하고, 그다음 두 원이 얼마나 겹치는지 보면 그것이 바로 '둘 다'에 해당하는 부분입니다.
1STEP 1
'축구 또는 야구' 부분 구하기
학급 전체가 1이고 4/15가 어느 것도 아니니, 11/15가 축구나 야구를 좋아한다.
1 - 4/15 = 15/15 - 4/15 = 11/15
두 원과 '둘 다 아님' 영역이 합쳐져 반 전체를 채워야 하므로, 두 원을 합친 것은 '둘 다 아님'이 아닌 모든 학생을 덮습니다.
5.NF.A.1Identify Subproblems2STEP 2
공통분모로 두 원 더하기
두 원을 더하면 가운데가 두 번 세어진다. 6/15 + 8/15 = 14/15다.
2/5 + 8/15 = 6/15 + 8/15 = 14/15
축구를 좋아하는 무리와 야구를 좋아하는 무리는 겹치는 부분이 있으므로, 둘을 그냥 더하면 그 겹치는 가운데 조각이 두 번 세어집니다.
5.NF.A.1Draw A Venn Diagram3STEP 3
두 번 세어진 부분이 '둘 다'
넘친 14/15 - 11/15 = 1/5이 바로 두 번 센 부분이다.
14/15 - 11/15 = 3/15 = 1/5
두 원의 합이 실제 합집합보다 더 나온 만큼이, 두 원에 동시에 속하는 조각입니다.
5.NF.A.2Draw A Venn Diagram더 나온 15분의 3이 바로 두 운동을 모두 좋아하는 학생의 몫이다.
왜?
축구를 좋아하는 몫과 야구를 좋아하는 몫을 더하면 둘 다 좋아하는 학생이 양쪽 몫에 한 번씩 들어가 두 번 세어진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
축구나 야구를 좋아하는 실제 몫은 그 학생들을 한 번만 세므로, 더한 값과 실제 값의 차이는 둘 다 좋아하는 무리를 통째로 한 번 더 센 것이다.
왜?
학급은 축구만, 야구만, 둘 다, 어느 것도 아님으로 나뉘고 빠지는 학생도 두 곳에 드는 학생도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
정답
각 영역이 전체가 되는지 확인합니다. 축구만 6/15 - 3/15 = 3/15, 야구만 8/15 - 3/15 = 5/15, 둘 다 3/15, 둘 다 아님 4/15. 합 = 3/15 + 5/15 + 3/15 + 4/15 = 15/15 = 1. '둘 다' 비율 3/15 = 1/5는 한 운동만 좋아하는 비율보다 작은데, 겹치는 부분이니 합리적입니다.
핵심 정리
겹치는 두 무리를 더하면, 두 번 세어진 부분이 바로 '둘 다'인 무리예요.
- '축구 또는 야구' 부분 구하기
- 공통분모로 두 원 더하기
- 두 번 세어진 부분이 '둘 다'
다음은 어디로?
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