심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
선을 움직여도 길이는 변하지 않는다.
모든 각이 직각인 계단(ㄷ자) 모양 도형이 있습니다. 이 도형을 둘러싼 가장 작은 직사각형은 가로(맨 아래 변)가 12 cm, 세로(오른쪽 변)가 8 cm입니다. 왼쪽에서 안쪽으로 파인 부분이 있어 길이가 9 cm인 가로 선분이 두 개 생깁니다. 이 도형의 둘레가 몇 cm인지 구해야 합니다.
측정·데이터
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 모든 각이 직각이므로 짧은 변들을 길이를 바꾸지 않고 가로·세로로 평행하게 밀어 옮길 수 있습니다. 세로 선분은 모두 전체 높이 위로, 가로 선분은 모두 전체 너비 위로 모이게 되어 결국 직사각형의 둘레가 됩니다. 다만 안쪽으로 파인 노치의 9 cm 선분 두 개는 도형 안쪽으로 들어가 있어 직사각형 변으로 합쳐지지 않습니다. 그래서 둘레를 두 개의 쉬운 문제로 나눕니다. 둘러싼 직사각형의 둘레, 그리고 남는 9 cm 선분 두 개입니다. 어린 학생도 계단을 평평하게 밀어 직사각형을 떠올린 뒤, 안쪽으로 파인 부분만 다시 더해 주면 된다는 것을 그림으로 이해할 수 있습니다.
1STEP 1
변을 옮겨 직사각형 만들기
계단을 바깥으로 밀어도 길이는 그대로이고 테두리가 12 × 8 직사각형이 된다.
width = 12 cm, height = 8 cm
변을 옆으로 밀어도 길이는 그대로이므로, 계단 모양의 바깥선을 곧게 펴서 직사각형으로 만들 수 있습니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram계단 모양의 변들을 바깥으로 밀면 변의 길이는 그대로인 채 테두리가 직사각형이 된다.
왜?
선분을 밀면 늘이거나 구부리지 않고 자리만 옮기는 것이라 길이는 그대로다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
위로 민 가로 조각들은 직사각형의 윗변으로, 옆으로 민 세로 조각들은 옆변으로 모이므로, 같은 변들이 직사각형의 네 변으로 다시 묶인다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
직사각형의 둘레 구하기
직사각형의 둘레는 가로와 세로를 더한 뒤 2배 합니다. 가로와 세로를 더하고 그 합을 두 배로 만듭니다.
(12 + 8) × 2 = 20 × 2 = 40 cm
긴 변 두 개와 짧은 변 두 개가 있으니, 한 쌍씩 세고 2배 하면 됩니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems3STEP 3
직사각형에 합쳐지지 않은 노치 선분 더하기
9 cm짜리 두 변은 안쪽으로 파고들어 그 직사각형에 끼지 못하니 9 × 2 = 18 cm를 더한다.
9 × 2 = 18 cm
파인 부분도 실제로 따라 걷는 변이므로, 곧게 편 직사각형 위에 더해 주어야 합니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems4STEP 4
둘레 합하기
직사각형의 둘레와 노치 선분 두 개를 더해 도형 둘레의 전체 길이를 구합니다.
40 + 18 = 58 cm
둘레는 곧게 편 직사각형에 파인 부분이 더하는 변을 합한 것입니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems정답
58 cm
답의 단위가 cm로, 둘레에 맞습니다. 그냥 직사각형의 40 cm보다 큰데, 안쪽으로 파인 부분이 변을 없애는 것이 아니라 따라 걷는 변을 더해 주기 때문에 합당합니다. 12 cm x 8 cm 직사각형 안에 들어가면서도 안쪽이 파인 도형의 둘레로 58 cm는 적당한 크기입니다.
핵심 정리
직각 계단을 평평하게 밀어 직사각형을 만든 뒤, 안쪽으로 파인 변은 따로 더해 줍니다.
- 변을 옮겨 직사각형 만들기
- 직사각형의 둘레 구하기
- 직사각형에 합쳐지지 않은 노치 선분 더하기
- 둘레 합하기
다음은 어디로?
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