심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
합 피라미드에서 대칭인 항은 지워지고 x만 쌓인다.
각 칸에는 바로 아래 두 칸의 합이 들어갑니다. 맨 아래 줄 다섯 개의 식에서 시작해 피라미드를 쌓아 올려 맨 위 칸의 식을 구합니다.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 한 층씩 채우면서 그때그때 동류항끼리 정리해 식을 짧게 유지합니다. 그런 다음 y항이 왜 사라지는지 봅니다. 맨 아래 줄이 좌우 대칭이기 때문입니다.
1STEP 1
둘째 줄
맨 아래 줄에서 이웃한 두 칸씩 더합니다.
2x+3y, 2x+y, 2x-y, 2x-3y
예를 들어 (x+2y)+(x+y)=2x+3y처럼 x는 x끼리, y는 y끼리 더합니다.
7.EE.A.1Draw A Diagram2STEP 2
셋째 줄
다시 이웃한 두 칸씩 더합니다.
4x+4y, 4x, 4x-4y
(2x+y)+(2x-y)=4x에서 y가 지워집니다.
7.EE.A.1Convert To Algebra3STEP 3
넷째 줄
두 쌍을 더합니다.
(4x+4y)+4x=8x+4y, 4x+(4x-4y)=8x-4y
동류항은 하나의 항으로 모입니다.
6.EE.A.3Convert To Algebra4STEP 4
맨 위 칸
마지막 덧셈에서 +4y와 -4y가 지워집니다.
(8x+4y)+(8x-4y)=16x
x만 남습니다.
7.EE.A.1Convert To Algebra5STEP 5
y가 사라지는 까닭
맨 아래 칸들은 꼭대기까지 1, 4, 6, 4, 1번씩 더해집니다. x는 1+4+6+4+1=16개가 모이고, y는 좌우가 반대라 지워집니다.
2×1+1×4+0×6+(-1)×4+(-2)×1=0
좌우 대칭인 부분은 서로 지워집니다.
6.EE.A.3Look For A Pattern꼭대기에서는 맨 아래 벽돌이 각각 , , , , 번 세어지므로, 부분은 가 되고 부분은 지워진다.
왜?
꼭대기에서 아래로 내려가며 보면, 벽돌의 식은 위의 두 벽돌을 따로따로 거쳐 올라가므로 그 벽돌이 세어지는 횟수는 위의 두 벽돌 횟수의 합이다: ; ; ; ; .
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
부분은 의 묶음, 곧 이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
양 끝끼리 짝지으면 한 번과 한 번, 네 번과 네 번이 되어 각 짝은 더한 만큼 다시 빼고, 가운데 벽돌에는 가 없다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
정답
16x
x=1, y=1로 확인합니다. 맨 아래 줄은 3,2,1,0,-1이고, 차례로 5,3,1,-1, 8,4,0, 12,4, 16이 됩니다. 16x=16과 같습니다.
핵심 정리
x는 x끼리, y는 y끼리 더하면 대칭이 알아서 지워 줘요.
- 둘째 줄
- 셋째 줄
- 넷째 줄
- 맨 위 칸
- y가 사라지는 까닭
다음은 어디로?
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