심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
$x+4$, $x+5$ 중 꼭 하나만 소수여야 함수가 된다.
두 변수 , 에 대하여 , , 이고 , 일 때, 를 가 소수가 되도록 하는 에 대응시킨다. 이때 가 의 함수가 되기 위한 모든 의 값의 합을 구하시오. (단, 는 인 자연수)
함수연산
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 일을 나눕니다. 먼저 정해진 x인 1과 2를 확인하고, 다음으로 a를 3부터 9까지 하나씩 나열하며, 대응하는 y가 없거나 두 개인 a를 지워 나갑니다.
1STEP 1
함수가 되는 조건
각 x마다 x+4, x+5 중 정확히 하나만 소수여야 합니다. 없거나 둘이면 함수가 아닙니다.
함수는 모든 입력에 출력을 꼭 하나씩 줍니다. 없어도 안 되고 둘이어도 안 됩니다.
8.F.A.1Identify Subproblems2STEP 2
x=1, x=2 확인하기
x=1이면 5만 소수라서 1은 4에, x=2이면 7만 소수라서 2는 5에 대응합니다.
정해진 두 입력은 문제가 없으니 a만 따지면 됩니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
a를 하나씩 확인하기
a=3부터 9까지 중 a=4(8, 9)와 a=5(9, 10)만 소수인 합이 없고, 나머지는 정확히 하나입니다.
a+4와 a+5는 연속한 수라서 하나는 2보다 큰 짝수이므로 둘 다 소수일 수는 없습니다. 깨지는 경우는 소수가 하나도 없을 때뿐입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities가운데 가 함수가 되지 못하게 하는 것은 와 뿐이다.
왜?
함수라는 것은 모든 입력에 출력이 정확히 하나씩이라는 뜻이므로, 짝이 없거나 짝이 둘인 하나만 있어도 깨진다.
🧱함수는 입력 하나에 출력 하나어떤 규칙을 함수라고 부른다는 것은 가능한 입력마다 출력이 꼭 하나씩 정해진다는 뜻이므로, 출력이 둘인 입력이 하나만 있어도 함수가 아니다.
왜?
와 는 둘 다 소수일 수 없으므로, 실패하는 길은 소수가 하나도 없는 경우뿐이다.
왜?
이웃한 두 수 중 하나는 짝수이고, 보다 큰 짝수는 더 작은 자연수의 두 배이므로 소수가 아니다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
4STEP 4
가능한 값 더하기
가능한 a는 3, 6, 7, 8, 9입니다.
3+6+7+8+9=33
후보 일곱 개 중 두 개를 지우고 다섯 개가 남습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
33
a=6이면 10은 소수가 아니고 11은 소수라서 6은 5에만 대응합니다. a=5이면 9, 10이 모두 합성수라서 짝이 없습니다. 33은 3+4+…+9=42보다 작아, 4와 5를 뺀 결과로 알맞습니다.
핵심 정리
함수는 입력마다 출력이 정확히 하나여야 하니, '둘'만큼 '없음'도 꼼꼼히 확인하세요.
- 함수가 되는 조건
- x=1, x=2 확인하기
- a를 하나씩 확인하기
- 가능한 값 더하기
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