문제
소수점 아래 자리 숫자가 무한히 반복되는 소수가 있다.
어떤 나눗셈의 몫이 끝나지 않는 소수입니다. 그 소수의 멀리 있는 두 자리의 숫자를 구해야 합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 스무 자리를 손으로 나누라는 문제가 아닙니다. 되풀이되는 마디와 그 길이를 찾은 뒤, 각 자리가 마디의 몇 번째인지 묻습니다. 나머지 문제를 두 번 푸는 셈입니다.
1STEP 1
나누는 수의 소수점 없애기
두 수에 똑같이 10을 곱하면 몫은 그대로이면서 나눗셈이 보기 쉬워집니다.
14 ÷ 2.7 = 140 ÷ 27
몫은 같고 수는 자연수가 됩니다.
6.NS.B.3Work Backwards2STEP 2
반복이 나올 때까지 나누기
1, 8, 5가 나온 뒤 같은 나머지가 돌아오므로 규칙이 처음부터 다시 시작됩니다.
140 ÷ 27 = 5.185185…
185라는 세 자리 마디가 반복됩니다.
7.NS.A.2Solve An Easier Related Problem숫자는 길이 인 마디로 끝없이 되풀이된다.
왜?
로 나눌 때 나올 수 있는 나머지는 정해진 몇 가지뿐이므로, 언젠가는 전에 나왔던 나머지가 다시 돌아온다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
같은 나머지가 돌아오면 그다음 계산은 앞서 한 것을 그대로 되풀이하므로, 숫자가 일정한 주기로 순환한다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
3STEP 3
15째 자리 찾기
15를 마디의 길이 3으로 나눕니다. 나누어떨어지므로 15째 자리는 마디의 마지막 숫자입니다.
15 ÷ 3 = 5
15째 자리의 숫자는 5입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern4STEP 4
20째 자리 찾기
이번에는 나머지가 2이므로 20째 자리는 마디의 둘째 숫자입니다.
20 = 3 × 6 + 2
20째 자리의 숫자는 8입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern정답
15째 자리: 5, 20째 자리: 8
앞자리를 몇 개 세어 봅니다. 1째부터 6째까지가 1, 8, 5, 1, 8, 5이므로 3의 배수 자리는 모두 5이고, 배수에서 두 칸 뒤는 모두 8입니다.
핵심 정리
순환하는 소수의 멀리 있는 자리는 나눗셈을 끝까지 해서가 아니라 나머지가 정합니다.
- 나누는 수의 소수점 없애기
- 반복이 나올 때까지 나누기
- 15째 자리 찾기
- 20째 자리 찾기