심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
맞물린 톱니바퀴는 (톱니 수)×(회전수)가 같다.
톱니의 수의 비가 인 두 개의 톱니바퀴 P, Q와 톱니의 수의 비가 인 두 개의 톱니바퀴 Q, R가 서로 맞물려 돌아가고 있다. 톱니바퀴 P의 분 간 회전수를 회, 톱니바퀴 R의 분 간 회전수를 회라고 할 때, 와 사이의 관계식을 구하시오.
함수비와 비율
내 답
풀이 과정
전략 단위 살펴보기 — '1분 동안 지나가는 톱니 수'라는 단위로 생각합니다. 맞물린 톱니바퀴끼리는 이 값이 같고, 그 값은 (톱니 수)×(회전수)입니다. 먼저 두 비를 Q가 같은 수가 되도록 다시 정리해 P:Q:R를 하나로 만들고, 톱니 수가 같다는 식을 세웁니다.
1STEP 1
두 비 맞추기
Q는 첫째 비에서 3, 둘째 비에서 2입니다. 두 비를 바꿔 Q를 6으로 맞춥니다.
P:Q=2:3=4:6, Q:R=2:5=6:15 → P:Q:R=4:6:15
겹치는 항을 같은 수로 맞춰야 두 비를 이을 수 있습니다.
6.RP.A.3Organize Information In More Ways2STEP 2
톱니 수 정하기
자연수 a에 대하여 톱니 수를 4a, 6a, 15a라 합니다.
비만 알고 있으므로 공통인 수 a로 실제 크기를 대신합니다.
6.RP.A.3Convert To Algebra3STEP 3
1분 동안 지나가는 톱니 수는 같다
1분에 P에서 4a × x개의 톱니가 지나가고, Q를 거쳐 R에서도 같은 수인 15a × y개가 지납니다.
4a × x = 15a × y
Q 자체의 빠르기는 상관없고, P의 톱니 수를 R에 전해 줄 뿐입니다.
8.F.B.4Analyze The Units1분 동안 P에서 지나가는 톱니 수와 R에서 지나가는 톱니 수가 같으므로 이다.
왜?
두 톱니바퀴가 맞물린 곳에서는 한쪽 톱니 하나가 지나갈 때 다른 쪽 톱니도 정확히 하나 지나가므로 두 개수가 같다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
P는 1분에 바퀴 돌고 한 바퀴마다 톱니 개가 모두 지나가므로 개가 지나가며, R도 같은 방식으로 개가 지나간다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
P의 개수는 Q의 개수와 같고 Q의 개수는 R의 개수와 같으므로 P의 개수는 R의 개수와 같다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
4STEP 4
y에 대하여 풀기
양변을 15a로 나눕니다.
y=(4a/(15a))x=(4/15)x
R의 톱니가 P보다 많으므로 R는 더 천천히 돕니다. 곱하는 수 4/15가 1보다 작습니다.
8.F.B.4Convert To Algebra정답
y=(4/15)x
a=1, x=15로 확인합니다. P는 1분에 4 × 15=60개의 톱니를 보냅니다. 톱니 6개인 Q는 10번 돌아 60개를 보내고, 톱니 15개인 R는 4번 돌아 15 × 4=60입니다. 식으로도 y=4/15×15=4입니다.
핵심 정리
맞물린 톱니바퀴는 톱니 수와 회전수를 곱하세요. 그 곱은 사슬 속 모든 바퀴에서 같습니다.
- 두 비 맞추기
- 톱니 수 정하기
- 1분 동안 지나가는 톱니 수는 같다
- y에 대하여 풀기
다음은 어디로?
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