심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
해를 상수로 나타낸 뒤 부호 조건을 부등식으로 바꾼다.
연립방정식 , , 를 만족시키는 , 가 양수일 때, 상수 의 값의 범위를 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 각 미지수가 세 식 중 정확히 두 식에 나오므로, 세 식을 모두 더하면 x+y+z가 한 번에 나옵니다. 이 합에서 원래 식을 하나씩 빼면 미지수가 하나씩 a에 대한 식으로 나옵니다. 그러면 양수 조건이 a에 대한 일차부등식 두 개가 됩니다.
1STEP 1
세 식을 모두 더하기
합에는 각 미지수가 두 번씩 나옵니다.
2(x+y+z) = 10 + 6 + a → x + y + z = 8 + a/2
대칭인 모양 덕분에 전체 합이 쉽게 나옵니다.
8.EE.C.8Organize Information In More Ways세 방정식을 모두 더하면 가 된다.
왜?
각 방정식은 균형 잡힌 저울이고, 세 좌변을 한쪽에, 그와 같은 세 우변을 다른 쪽에 모두 올려도 저울은 균형을 유지한다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
좌변 에는 각 문자가 정확히 두 번씩 들어 있으니 가 두 개 있는 것이다.
왜?
합에서 항의 순서는 마음대로 바꿀 수 있으므로 여섯 항을 와 또 하나의 로 늘어놓을 수 있다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
묶음 두 개는 그 묶음의 배이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
2STEP 2
x, y를 a로 나타내기
전체 합에서 y+z=6을 빼면 x, z+x=a를 빼면 y가 나옵니다.
x = 8 + a/2 - 6 = 2 + a/2, y = 8 + a/2 - a = 8 - a/2
어떤 미지수가 빠진 식을 빼면 그 미지수만 남습니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra3STEP 3
x ＞ 0 조건 풀기
a에 대한 부등식을 풉니다.
2 + a/2 ＞ 0 → a/2 ＞ -2 → a ＞ -4
양수 2를 곱하므로 부등호 방향은 그대로입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
y ＞ 0 조건을 풀고 합치기
두 번째 부등식을 풀고, 두 조건을 동시에 만족하는 a만 남깁니다.
8 - a/2 ＞ 0 → a ＜ 16, 따라서 -4 ＜ a ＜ 16
두 조건이 동시에 성립해야 하므로 겹치는 부분이 답입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
-4 ＜ a ＜ 16
범위 안의 a=0을 넣어 보면 x=2, y=8, z=-2이고 2+8=10, 8+(-2)=6, -2+2=0으로 맞습니다. 경계인 a=-4에서는 x=0, a=16에서는 y=0이 되어 양수가 아니므로 경계는 포함되지 않습니다.
핵심 정리
해를 먼저 상수로 나타내면, 해에 대한 조건이 곧 상수에 대한 조건이 됩니다.
- 세 식을 모두 더하기
- x, y를 a로 나타내기
- x ＞ 0 조건 풀기
- y ＞ 0 조건을 풀고 합치기
다음은 어디로?
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