심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
곡선 위 두 점의 $xy$가 같다는 식으로 변의 비를 잡는다.
x축 위의 두 꼭짓점을 B(a, 0), C(b, 0)으로 놓습니다. A는 곡선 위에서 B의 바로 위에 있고, D는 A와 높이가 같으며, E는 BD의 중점입니다. E가 곡선 위에 있다는 조건으로 b와 a의 관계를, E의 x좌표로 a와 m의 관계를 구합니다.
도형식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 모든 꼭짓점을 두 문자 a, b로 나타냅니다. y=3/x 위의 두 점은 모두 xy = 3을 만족하므로 a와 b 사이의 식이 하나 생깁니다.
1STEP 1
꼭짓점 나타내기
A는 곡선 위에서 B의 바로 위에 있으므로 높이가 3/a이고, D는 A와 높이가 같으며 C의 바로 위에 있습니다.
A(a, 3/a), B(a, 0), C(b, 0), D(b, 3/a)
한 변이 x축 위에 있는 직사각형의 맞은편 변은 일정한 높이에 있습니다.
6.G.A.3Draw A Diagram2STEP 2
중점 E의 좌표
B와 D의 좌표를 각각 평균합니다.
E((a+b)/2, 3/(2a))
중점은 가로로도 세로로도 정확히 가운데입니다.
6.G.A.3Organize Information In More Ways3STEP 3
E가 곡선 위에 있다
y=3/x 위의 점은 xy = 3을 만족합니다.
(a+b)/2 × 3/(2a) = 3 → a + b = 4a → b = 3a
E의 높이가 A의 절반이므로 x좌표는 A의 두 배여야 합니다. 즉 (a+b)/2 = 2a입니다.
7.EE.B.4Convert To AlgebraE가 곡선 위에 있으므로 일 수밖에 없다.
왜?
E에서 축으로 수선을 내리면 와 모양이 같고 크기가 절반인 삼각형이 생기므로, E는 가로로도 세로로도 절반만큼 간 점 이다.
🧱닮은 삼각형의 변은 비례한다각이 같은 삼각형은 크기만 다른 같은 모양이므로, 서로 대응하는 변끼리는 모두 같은 하나의 비를 가진다.
왜?
점이 그래프 위에 있다는 것은 그 좌표가 를 참으로 만든다는 뜻이고, E에 대해서는 이다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
왜?
양변에 를 곱해도 등식은 유지되어 가 되고, 양변에서 를 빼면 가 남는다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
m으로 나타내기
E의 x좌표는 (a+3a)/2 = 2a이고, 이것이 m입니다.
2a = m → a = m/2, 즉 B(m/2, 0)
B는 A의 바로 아래에 있고, x좌표는 E의 절반입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
(m/2, 0)
m=2로 확인합니다. B(1, 0), A(1, 3), C(3, 0), D(3, 3)이므로 E= (2, 1.5)이고 2 × 1.5 = 3입니다. A와 E가 모두 곡선 위에 있고 E의 x좌표가 2 = m입니다.
핵심 정리
y=k/x 위의 두 점에서는 높이가 절반이면 x좌표가 두 배입니다.
- 꼭짓점 나타내기
- 중점 E의 좌표
- E가 곡선 위에 있다
- m으로 나타내기
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