심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
분자와 분모에 같은 거듭제곱을 곱해 음의 지수를 정리한다.
로 약속하고, 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 은 자연수)
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — a 자체를 구하기는 번거롭지만 a⁻²의 값은 알고 있습니다. 분자와 분모에 a⁻³을 곱하면 모든 항이 1 또는 a⁻⁶이 되고, a⁻⁶은 a⁻²의 세제곱입니다.
1STEP 1
주어진 값으로 a⁻⁶ 만들기
주어진 값을 세제곱합니다. a⁻⁶=1/a⁶=(1/a²)³입니다.
a⁻⁶=(a⁻²)³=3³=27
거듭제곱의 거듭제곱은 지수끼리 곱합니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
분자와 분모에 a⁻³ 곱하기
분수의 값은 변하지 않습니다. a³ × a⁻³은 a⁰=1이 되고, a⁻³ × a⁻³은 a⁻⁶이 됩니다.
(a³-a⁻³)/(a³+a⁻³)=(1-a⁻⁶)/(1+a⁻⁶)
a³×1/a³=1입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra이다.
왜?
분자와 분모에 이 아닌 같은 수 을 곱하는 것은 분수의 이름만 바꾼다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
왜?
합이나 차에 을 곱하면 각 항에 곱해진다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
이고 으로 나누면 을 곱한 것이 되돌려져 이 남는다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
분모에 가 개 있으므로 이다.
🧱지수는 반복해서 곱한 횟수지수는 어떤 인수를 몇 번 썼는지만 기록하므로, 밑이 같은 두 거듭제곱을 곱하면 그 횟수를 더하기만 하면 된다.
3STEP 3
대입해서 정리하기
새 분수에 a⁻⁶=27을 넣습니다.
(1-27)/(1+27)=-26/28=-13/14
음수를 양수로 나누면 음수입니다.
7.NS.A.2Convert To Algebra정답
-13/14
a⁻²=3이면 a²=1/3이므로 a⁶=1/27입니다. 분자와 분모에 a³을 곱해도 값은 같아 (a⁶-1)/(a⁶+1)=(1/27-1)/(1/27+1)=-13/14입니다. a가 양수인지 음수인지와 관계없이 확인됩니다.
핵심 정리
a의 거듭제곱 하나의 값을 알면, 식을 그 거듭제곱만 남도록 바꿔 보세요.
- 주어진 값으로 a⁻⁶ 만들기
- 분자와 분모에 a⁻³ 곱하기
- 대입해서 정리하기
다음은 어디로?
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