문제
곱하는 수가 커지면 계산 결과도 커진다.
10 x 8 + 5 - 16 / 4 라는 식이 있습니다. 원하는 자리에 괄호 ( )를 딱 한 번만 넣을 수 있습니다. 계산 결과가 자연수가 되도록 하면서, 결과가 가장 커지는 자리를 골라 그때의 가장 큰 값을 구하면 됩니다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기 — 괄호를 넣을 만한 자리는 몇 군데뿐이라, 의미 있는 자리들을 빠짐없이 나열해 하나씩 넣어 보며 확인할 수 있습니다(추측하고 확인하기). 결과를 크게 하려면, 10이 바로 뒤의 수에 곱해진다는 점을 이용해 곱해지는 부분을 키우는 자리를 찾는 것이 가장 이득이라는 패턴을 봅니다.
1STEP 1
괄호가 없을 때부터 계산해 보기
먼저 괄호 없이 식을 계산합니다. 곱셈과 나눗셈을 먼저 하고, 그다음 덧셈과 뺄셈을 왼쪽에서 오른쪽으로 합니다.
10 × 8 + 5 - 16 ÷ 4 = 80 + 5 - 4 = 81
기준값 81을 알아 두면, 어떤 괄호 자리가 이 값을 넘어서야 하는지 비교 기준이 생깁니다.
5.OA.A.1Look For A Pattern2STEP 2
10이 곱하는 수임을 알아채고, 곱해지는 부분을 키우기
괄호 안으로 들어간 것은 무엇이든 10배가 되므로, 8 + 5로 묶으면 곱할 양이 13이 된다.
10 × (8 + 5) = 10 × 13 = 130
괄호 안에서 먼저 더한 뒤 곱하면 +5가 곱하기 10에 함께 올라타게 되는데, 이것은 5를 그냥 따로 더하는 것보다 훨씬 강력합니다.
5.OA.A.2Look For A Pattern괄호를 8 + 5에 씌우는 것이 결과를 가장 크게 만든다.
왜?
8 + 5를 괄호로 묶으면 10이 복사할 양이 더 커진다. 혼자서는 5였던 것이 곱셈 안으로 들어가면 50만큼의 값을 갖게 된다.
왜?
(8과 5)의 10묶음은 8의 10묶음과 5의 10묶음을 합한 것이므로, 괄호 안으로 끌어들인 것은 무엇이든 10배가 된다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
다른 자리에 괄호를 씌우면 더 낫지 않다. 나머지 묶음은 모두 10이 곱하는 양을 크게 하는 대신 작게 만들기 때문이다.
왜?
식은 이 조각들을 차례로 더하고 빼서 이루어지므로, 10이 곱하는 조각이 작아지면 전체 결과도 작아진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
그 자리로 끝까지 계산하기
8 + 5에 괄호를 친 상태로 나머지를 계산합니다. 여전히 16을 4로 먼저 나눈 뒤 빼면 됩니다.
10 × (8 + 5) - 16 ÷ 4 = 130 - 4 = 126
이 한 번의 괄호 위치만으로 결과가 81에서 126까지 올라갑니다.
5.OA.A.1Guess And Check4STEP 4
다른 그럴듯한 자리들도 확인하기
다른 묶음은 90이 되거나 정수가 아닌 77.25가 되거나 81 그대로라, 어느 것도 이기지 못한다.
10 × (8 + 5 - 16 ÷ 4) = 10 × 9 = 90
의미 있는 자리를 빠짐없이 나열해 보면 126이 우연한 추측이 아니라 진짜로 가장 큰 자연수 결과임이 확인됩니다.
5.OA.A.1Make A Systematic List정답
126
126은 괄호가 없을 때의 81보다 크고, 우리가 시험한 다른 어떤 자연수 자리보다도 큽니다(다음으로 큰 자연수는 90). 또 자연수이므로 규칙도 만족합니다. 다시 확인하면 8 + 5 = 13, 10 x 13 = 130, 16 / 4 = 4, 130 - 4 = 126.
핵심 정리
괄호는 곱하기 10이 더 열심히 일하도록 돕는 자리에 넣자: 10 x (8 + 5) - 16 / 4 = 126.
- 괄호가 없을 때부터 계산해 보기
- 10이 곱하는 수임을 알아채고, 곱해지는 부분을 키우기
- 그 자리로 끝까지 계산하기
- 다른 그럴듯한 자리들도 확인하기
다음은 어디로?
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