심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

되풀이되는 분수 덩어리를 새 문자로 바꾼다.

방정식 $\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}=\frac{1}{x-y}-\frac{3}{x+y}=1$ 을 푸시오.

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기 — A=B=C 꼴을 각각 1과 같은 두 식으로 다르게 정리합니다. 식에는 1/(x+y)와 1/(x-y) 두 덩어리만 나오므로, 이를 새 문자로 바꾸면 평범한 일차 연립방정식이 됩니다. 그다음은 치환을 되돌리는 일과 x, y를 구하는 일, 두 개의 작은 문제로 나누어 풉니다.

1STEP 1

두 개의 방정식으로 나누기

앞의 두 식이 각각 마지막 값 1과 같습니다.

5/(x+y)-2/(x-y)=1, 1/(x-y)-3/(x+y)=1

2STEP 2

되풀이되는 덩어리를 새 문자로 바꾸기

A=1/(x+y), B=1/(x-y)라 하면 두 식이 A, B에 대한 일차방정식이 됩니다.

5A - 2B = 1, -3A + B = 1

3STEP 3

A, B 구하기

두 번째 식에서 B=1+3A이므로 첫 번째 식에 대입합니다.

5A - 2(1+3A) = 1 → -A - 2 = 1 → A = -3, B = 1 + 3 × (-3) = -8

4STEP 4

치환 되돌리기

1/(x+y)=-3이면 x+y=-1/3이고, 1/(x-y)=-8이면 x-y=-1/8입니다.

x + y = -1/3, x - y = -1/8

5STEP 5

더하고 빼서 x, y 구하기

두 식을 더하면 2x, 빼면 2y가 나옵니다.

2x = -8/24 - 3/24 = -11/24 → x = -11/48, 2y = -8/24 + 3/24 = -5/24 → y = -5/48

정답

x=-11/48, y=-5/48

x+y=-16/48=-1/3, x-y=-6/48=-1/8이므로 5/(x+y)-2/(x-y)=-15+16=1, 1/(x-y)-3/(x+y)=-8+9=1이 되어 모든 식이 1과 같습니다.

핵심 정리

같은 복잡한 덩어리가 자꾸 보이면 새 이름을 붙여 보세요. 이미 풀 줄 아는 문제로 바뀌는 경우가 많습니다.

두 개의 방정식으로 나누기
되풀이되는 덩어리를 새 문자로 바꾸기
A, B 구하기
치환 되돌리기
더하고 빼서 x, y 구하기

다음은 어디로?

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