심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

먼저 직선이 어느 변을 지나야 하는지 넓이로 판정한다.

오른쪽 그림과 같이 정비례 관계 $y=3x$ 의 그래프 위의 점 C의 $x$ 좌표는 $4$ 이고 A $(10, 0)$ 이다. 정비례 관계 $y=ax$ 의 그래프가 사다리꼴 OABC의 넓이를 이등분할 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)

비와 비율도형식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기 — 좌표 구하기, 전체 넓이 구하기, 대각선 OB로 만든 삼각형과 절반 넓이를 비교해 직선이 만나는 변 정하기, 넓이 식 세우기의 작은 문제로 나눕니다.

1STEP 1

C는 y=3x 위의 x=4인 점이고, B는 C와 높이가 같고 A의 바로 위에 있습니다.

y = 3 × 4 = 12 → C(4, 12), B(10, 12)

2STEP 2

평행한 두 변은 OA =10, CB =10-4=6이고 높이는 12입니다.

1/2 × (10 + 6) × 12 = 96, 절반은 48

3STEP 3

대각선 OB가 잘라 내는 삼각형 OAB의 넓이를 절반과 비교합니다.

1/2 × 10 × 12 = 60 ＞ 48

4STEP 4

직선이 AB(x=10)와 만나는 점은 D(10, 10a)입니다. 삼각형 OAD는 밑변 10, 높이 10a입니다.

1/2 × 10 × 10a = 48 → 50a = 48 → a = 24/25

정답

24/25

D= (10, 9.6)은 변 AB 위(0과 12 사이)에 있고, 삼각형 OAD의 넓이는 1/2 × 10 × 9.6 = 48로 96의 절반입니다. 또 24/25는 OB의 기울기 12/10보다 작아 예상과 맞습니다.

핵심 정리

식을 세우기 전에 꼭짓점을 지나는 직선부터 시험해 보세요. 답이 어느 변에 있는지 알려 줍니다.

다음은 어디로?

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