심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
세 대칭점은 직사각형을 만들고 둘레는 절댓값의 합으로 정해진다.
격자점 P(a, b)를 원점, x축, y축에 대하여 각각 대칭이동합니다. 네 점이 이루는 사각형의 둘레가 12가 되는 정수 순서쌍 (a, b)를 셉니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 네 점을 그려 보면 원점을 중심으로 하고 변이 좌표축에 평행한 직사각형의 꼭짓점입니다. 변의 길이가 |a|, |b|로만 정해지므로 둘레 조건이 |a|, |b|에 대한 간단한 식 하나가 됩니다. 그 해를 나열하고 부호를 붙입니다.
1STEP 1
대칭점의 좌표 쓰기
원점 대칭은 두 좌표의 부호를 모두 바꾸고, x축 대칭은 y좌표의 부호를, y축 대칭은 x좌표의 부호를 바꿉니다.
A(-a, -b), B(a, -b), C(-a, b)
대칭이동은 부호만 바꿉니다.
6.NS.C.6Draw A Diagram2STEP 2
직사각형 알아보기
네 점 (± a, ± b)는 가로 2|a|, 세로 2|b|인 직사각형의 꼭짓점이고, a ≠ 0, b ≠ 0이어야 합니다.
|a-(-a)| = 2|a|, |b-(-b)| = 2|b|
어떤 수와 그 반대수 사이의 거리는 절댓값의 2배입니다.
7.NS.A.1Draw A Diagram사각형은 가로가 , 세로가 인 직사각형이다.
왜?
와 는 의 양쪽에서 으로부터 같은 거리 에 있고, 와 도 마찬가지이다.
🧱절댓값은 0까지의 거리|a|는 수직선에서 a가 0에서 떨어진 거리이므로 어느 쪽에 있든 음수가 될 수 없고, |a - b|는 a와 b 사이의 간격이다.
왜?
그래서 에서 까지는 에서 만나는 길이 인 두 조각이므로 이고, 도 같은 이유이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
둘레를 식으로 쓰기
가로 둘과 세로 둘을 더하면 12이므로 4(|a| + |b|) = 12입니다.
2(2|a| + 2|b|) = 12 → |a| + |b| = 3
양변을 4로 나눕니다.
7.NS.A.1Convert To Algebra4STEP 4
절댓값 나열하기
|a|, |b|는 합이 3인 자연수이므로 1+2와 2+1뿐입니다.
(|a|, |b|) = (1, 2) 또는 (2, 1)
어느 쪽도 0이 될 수 없습니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List5STEP 5
부호 붙이기
절댓값 한 쌍마다 a의 부호 2가지, b의 부호 2가지로 4가지입니다. 절댓값 쌍이 2개이므로 순서쌍은 8개입니다.
2 × 4 = 8
0이 아닌 절댓값마다 수가 두 개씩 있습니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List정답
8
여덟 쌍은 (± 1, ± 2), (± 2, ± 1)입니다. 예를 들어 (1, 2)이면 가로 2, 세로 4인 직사각형이고 둘레는 2 × (2+4) = 12입니다.
핵심 정리
대칭이동은 부호만 바꿔요. 그래서 도형의 크기는 절댓값에 들어 있지요.
- 대칭점의 좌표 쓰기
- 직사각형 알아보기
- 둘레를 식으로 쓰기
- 절댓값 나열하기
- 부호 붙이기
다음은 어디로?
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