심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
규칙을 찾으면 계산하지 않아도 결과를 알 수 있다.
계산식에서 규칙을 찾아 일곱 번째 계산식을 구하시오.
| 순서 | 계산식 |
|---|---|
| 첫 번째 | |
| 두 번째 | |
| 세 번째 | |
| 네 번째 | |
| 다섯 번째 |
연산
내 답
조심 '일곱 번째' 계산식을 홀수 7개를 더하는 계산식(결과 49)으로 착각하기 쉽지만, 더하는 개수는 한 단계마다 2개씩 늘어나므로 일곱 번째 계산식은 실제로 홀수 13개를 더합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 결과 1, 9, 25, 49, 81은 각각 1, 3, 5, 7, 9를 곱한 제곱수이고, 더하는 수의 개수는 한 단계마다 2개씩 늘어납니다. 이 두 가지 규칙을 알아채면 일곱 번째 계산식과 그 결과를 곧바로 쓸 수 있습니다.
1STEP 1
각 계산식에서 더하는 수의 개수를 세기
개수가 1, 3, 5, 7, 9, 11로 2개씩 늘어나므로 일곱 번째 계산식은 13개입니다.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13개
한 단계마다 그다음 홀수 2개를 덧붙일 뿐이므로, 더하는 수의 개수가 매번 2개씩 늘어납니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
마지막으로 더하는 홀수를 찾기
13개를 더하므로 13번째 홀수에서 끝나고, 그 홀수는 2 x 13 - 1 = 25입니다.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25
홀수를 차례로 적으면 1, 3, 5, ...이고, 그중 13번째가 25이므로 합은 거기서 멈춥니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
결과는 제곱수 규칙을 이용하기
결과 1, 9, 25, 49, 81은 모두 더하는 수의 개수를 그 자신과 곱한 값이므로 13개는 13 x 13입니다.
13 × 13 = 169
1부터 시작하는 홀수를 차례로 더하면 항상 제곱수가 되므로, 13개를 다 더하지 않고도 합을 예측할 수 있습니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem일곱 번째 식의 합은 더한 홀수의 개수인 13에 자기 자신을 곱한 값과 같은데, 1부터 시작해 연달아 홀수를 더하면 언제나 완전한 정사각형이 만들어지기 때문이다.
왜?
지금까지의 합을 정사각형으로 빽빽하게 놓인 점들로 그려 보면, 더하는 홀수 하나하나가 정사각형을 한 단계 큰 크기로 키우는 ㄱ자 모양 띠가 된다.
왜?
정사각형의 한 변을 점 하나만큼 더 길게 키우려면 같은 길이의 새 아랫줄과 새 옆줄을 놓고 모퉁이 점 하나를 함께 쓰게 하는데, 그래서 그 띠는 언제나 홀수 개의 점을 가진다.
왜?
큰 정사각형은 작은 정사각형에 그 모퉁이 띠를 더한 것과 정확히 같아서, 빠진 점도 두 번 센 점도 없이 띠는 정사각형을 완성하는 데 필요한 나머지 점일 뿐이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
마지막 홀수 띠까지 놓이면 점들은 완전한 정사각형을 채우고, 줄의 수와 한 줄의 점 수가 같으므로 그 수만큼의 줄에 그 수만큼의 점은 그 수에 자기 자신을 곱한 것이다.
왜?
같은 크기의 점 줄을 세는 것은 그 크기의 묶음을 그만큼 세는 것과 같고, 그것이 바로 두 수를 곱한다는 뜻이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
정답
13 × 13 = 169
결과는 제곱수여야 합니다. 169 = 13 x 13이고, 계산식은 25에서 끝나는 13개의 수를 더하므로 둘 다 규칙과 맞습니다. 다섯 번째 계산식의 81보다 큰데, 더 많은 홀수를 더했으니 당연합니다.
핵심 정리
1부터 시작하는 홀수를 더하면 언제나 제곱수가 되므로, 일곱 번째 계산식(홀수 13개)은 길게 더하지 않아도 13 x 13 = 169입니다!
- 각 계산식에서 더하는 수의 개수를 세기
- 마지막으로 더하는 홀수를 찾기
- 결과는 제곱수 규칙을 이용하기
다음은 어디로?
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