문제

대분수의 자연수 부분이 클수록, 분자가 클수록 큰 수이다.

수 카드 5, 8, 4, 6 중에서 두 장을 골라, 한 장은 자연수 부분, 다른 한 장은 분모가 7인 분수의 분자로 써서 대분수(자연수 분자/7)를 만듭니다. 만들 수 있는 가장 큰 대분수와 가장 작은 대분수를 찾아 그 합을 구합니다.

분수

내 답

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기 — 가장 큰 수를 만들려면 자연수 부분을 최대로, 그다음 분자를 최대로 정합니다. 가장 작은 수를 만들려면 자연수 부분을 최소로 정합니다. 카드 선택을 시험해 보고 분자는 7보다 작아야 한다는 조건을 확인합니다.

1STEP 1

가장 큰 대분수 만들기

자연수 부분이 가장 중요하니 가장 큰 카드 8을 자연수로, 7보다 작은 카드 중 가장 큰 6을 분자로 씁니다. 가장 큰 수는 8 $\frac{6}{7}$ .

8 \frac{6}{7}

자연수 부분이 크면 어떤 분수 부분보다 크므로, 자연수를 먼저 최대로 만듭니다.

4.NF.A.2Guess And Check

가장 큰 대분수는 가장 큰 카드 8을 자연수 자리에, 아직 쓸 수 있는 가장 큰 카드 6을 분자로 하여 분모 7 위에 올려 8 $\frac{6}{7}$ 로 만든다.

왜?

대분수는 자연수 부분과 1보다 작은 분수 부분의 합이라, 분수를 보기도 전에 자연수 부분이 어느 대분수가 더 큰지를 정하며, 쓸 수 있는 자연수 중 가장 큰 것이 8이다.

왜?

여기서 분수 부분은 많아야 $\frac{6}{7}$ 이고, 7보다 적은 개수의 7분의 1은 한 전체보다 작다.

왜?

한 전체는 똑같은 7분의 1 일곱 개로 정확히 나뉘므로, 일곱 개보다 적게 가지면 전체보다 적다.

🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

왜?

두 수를 비교할 때는 가장 큰 자리부터 따지며, 10이 1의 자리를 누르는 것처럼 한 전체 단위는 단위의 일부를 언제나 앞선다.

왜?

각 윗자리는 아랫자리를 묶은 것이라, 자연수 자리의 단위 하나는 그 아래 분수 자리에 있는 어떤 것보다도 값이 크다.

🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

왜?

자연수 부분을 가장 크게 고정했으면 분수가 커질수록 대분수도 커지는데, 남은 카드 5, 4, 6 중 7보다 작으면서 가장 큰 것이 6이다.

왜?

같은 분모 7 위에서는 분자가 클수록 같은 크기의 7분의 1 조각을 더 많이 세는 것이라 더 큰 분수가 된다.

왜?

$\frac{6}{7}$ 같은 분수는 $\frac{1}{7}$ 조각 여섯 개를 더한 것일 뿐이고, 같은 조각을 더 많이 더하면 전체가 더 커진다.

🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

왜?

분자는 7보다 작아야 하며 그렇지 않으면 분수 부분이 한 전체 이상이 되므로, 8은 분자가 될 수 없고 될 수 있는 가장 큰 카드가 6이다.

왜?

7분의 1 일곱 개면 이미 한 전체가 다시 만들어지므로, 7분의 1 여덟 개는 한 전체를 넘어 진분수 부분이기를 그친다.

🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

2STEP 2

가장 작은 대분수 만들기

자연수를 가장 작게: 가장 작은 카드는 4. 분자도 작아야 하지만 8은 쓸 수 없어(7보다 작아야) 5를 씁니다. 가장 작은 수는 4 $\frac{5}{7}$ .

4 \frac{5}{7}

3STEP 3

가장 큰 것과 가장 작은 것 더하기

자연수끼리 8+4=12, 분수끼리 $\frac{6}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{11}{7}$ =1 $\frac{4}{7}$ . 합치면 13 $\frac{4}{7}$ .

8 \frac{6}{7}+4 \frac{5}{7}=12+\frac{11}{7}=12+1 \frac{4}{7}=13 \frac{4}{7}

정답

13\frac{4}{7}

\frac{6}{7}

+ 4

\frac{5}{7}

= 13

\frac{4}{7}

가장 큰 수 ≈ 8.86, 가장 작은 수 ≈ 4.71이고 합은 약 13.57로 13

\frac{4}{7}

과 맞습니다. 8은 7보다 작지 않으므로 분자가 될 수 없어, 자연수 부분으로만 쓸 수 있고, 실제로 가장 큰 수(8

\frac{6}{7}

)의 자연수 부분으로 쓰였습니다.

핵심 정리

이 문제는 4학년의 분수 비교와 덧셈만 있으면 돼요 — 자연수 부분을 먼저 크게 골라요, 단 분자는 꼭 7보다 작게!

가장 큰 대분수 만들기
가장 작은 대분수 만들기
가장 큰 것과 가장 작은 것 더하기

다음은 어디로?

한 단계 위로추천

두 수의 차가 작을수록 가깝다.

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